第54题
设级数 $\dfrac{x^4}{2\cdot 4}+\dfrac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\dfrac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots$ $(-\infty
答案
(1) $S'(x)-xS(x)=\dfrac{x^3}{2}$，$S(0)=0$；(2) $S(x)=e^{\frac{x^2}{2}}-\dfrac{x^2}{2}-1$
📋 解题步骤
1
写出级数表达式
▼
$S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2\cdot 4\cdots(2n)}$，易知 $S(0)=0$。
2
求导并构造微分方程
▼
逐项求导得 $S'(x)=\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^5}{2\cdot 4}+\dfrac{x^7}{2\cdot 4\cdot 6}+\cdots=x\left(\dfrac{x^2}{2}+S(x)\right)$。整理得 $S'(x)-xS(x)=\dfrac{x^3}{2}$，且 $S(0)=0$。
3
解一阶线性微分方程
▼
通解 $S(x)=e^{\int x\,\mathrm{d}x}\left(\int\dfrac{x^3}{2}e^{-\int x\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+C\right)=e^{\frac{x^2}{2}}\left(-\dfrac{1}{2}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}-e^{-\frac{x^2}{2}}+C\right)$。
4
确定常数
▼
由 $S(0)=0$ 得 $-1+C=0$，即 $C=1$。
5
得到结果
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$S(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-1+e^{\frac{x^2}{2}}$。
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