第54题
设级数 $\dfrac{x^4}{2\cdot 4}+\dfrac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\dfrac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots$ $(-\infty<x<+\infty)$ 的和函数为 $S(x)$，求 (1) $S(x)$ 所满足的一阶微分方程；(2) $S(x)$ 的表达式。
答案
(1) $S'(x)-xS(x)=\dfrac{x^3}{2}$，$S(0)=0$；(2) $S(x)=e^{\frac{x^2}{2}}-\dfrac{x^2}{2}-1$
📖 前置知识梳理
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本题考查幂级数求导后建立微分方程的方法。
要点1：幂级数和函数的逐项求导公式——$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$。
要点2：一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式为 $y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$。本题的关键在于通过逐项求导后发现导数与原函数之间的关系，从而建立微分方程。
要点1：幂级数和函数的逐项求导公式——$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 的和函数 $S(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$。
要点2：一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解公式为 $y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$。本题的关键在于通过逐项求导后发现导数与原函数之间的关系，从而建立微分方程。
📋 解题步骤
1
写出级数表达式
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$S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2\cdot 4\cdots(2n)}$，易知 $S(0)=0$。
2
求导并构造微分方程
▼
逐项求导得 $S'(x)=\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{x^5}{2\cdot 4}+\dfrac{x^7}{2\cdot 4\cdot 6}+\cdots=x\left(\dfrac{x^2}{2}+S(x)\right)$。整理得 $S'(x)-xS(x)=\dfrac{x^3}{2}$，且 $S(0)=0$。
3
解一阶线性微分方程
▼
通解 $S(x)=e^{\int x\,\mathrm{d}x}\left(\int\dfrac{x^3}{2}e^{-\int x\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+C\right)=e^{\frac{x^2}{2}}\left(-\dfrac{1}{2}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}-e^{-\frac{x^2}{2}}+C\right)$。
4
确定常数
▼
由 $S(0)=0$ 得 $-1+C=0$，即 $C=1$。
5
得到结果
▼
$S(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-1+e^{\frac{x^2}{2}}$。
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