第55题
设幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛，其和 $y(x)$ 满足 $y''-2xy'-4y=0$，$y(0)=0$，$y'(0)=1$。(1) 证明 $a_{n+2}=\dfrac{2}{n+1}a_n$ ($n=1,2,\cdots$)；(2) 求 $y(x)$ 的表达式。
答案
(1) 已证；(2) $y(x)=xe^{x^2}$
📖 前置知识梳理
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本题考查幂级数逐项求导公式和用幂级数解微分方程的方法。
要点1：幂级数的和函数 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$（$|x|<R$）。
要点2：$e^x$ 的幂级数展开式为 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$（$-\infty<x<+\infty$）。解题关键是将微分方程中的函数用幂级数表示，比较同次幂系数得到递推关系，再结合初始条件确定各项系数。
要点1：幂级数的和函数 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$（$|x|<R$）。
要点2：$e^x$ 的幂级数展开式为 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$（$-\infty<x<+\infty$）。解题关键是将微分方程中的函数用幂级数表示，比较同次幂系数得到递推关系，再结合初始条件确定各项系数。
📋 解题步骤
1
写出幂级数及其导数
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$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，$y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，$y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$。
2
代入微分方程
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将 $y,y',y''$ 代入 $y''-2xy'-4y=0$，整理得 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}x^n-\sum_{n=1}^{\infty}2na_nx^n-\sum_{n=0}^{\infty}4a_nx^n=0$。
3
比较系数
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由 $x^n$ 的系数为零，得 $2a_2-4a_0=0$ 及 $(n+1)(n+2)a_{n+2}-2(n+2)a_n=0$ ($n\geq 1$)，即 $a_{n+2}=\dfrac{2}{n+1}a_n$ ($n\geq 1$)。
4
利用初值确定系数
▼
由 $y(0)=0,y'(0)=1$ 得 $a_0=0,a_1=1$。由递推式可知所有偶数项 $a_{2n}=0$，奇数项 $a_{2n+1}=\dfrac{1}{n!}$。
5
求和函数
▼
$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{n!}=x\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x^2)^n}{n!}=xe^{x^2}$。
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