第56题
求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n-1}{3^n}$ 的和。
答案
$\dfrac{7}{4}$
📖 前置知识梳理
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本题考查利用幂级数求数项级数和的方法。核心要点：常用幂级数 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$（$-1<x<1$）。解题策略是将数项级数拆分为可利用已知幂级数展开式的部分，通过先积分后求导（或先求导后积分）的方法求和。对于含 $n$ 的因子，通常构造 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$，利用积分将其转化为等比级数。
📋 解题步骤
1
拆分级数
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将原级数拆分为两部分：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{3^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}=S_1-S_2$。
2
计算 $S_2$
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$S_2=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n$。利用等比级数和公式 $\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$，令 $x=\frac{1}{3}$，得 $S_2=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$。
3
计算 $S_1$
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$S_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n-1}}$。设 $S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$，逐项积分得 $\int_0^xS_1(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$。
4
求导得 $S_1(x)$
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对上式求导得 $S_1(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}$。令 $x=\frac{1}{3}$，得 $S_1=\frac{1}{(1-1/3)^2}=\frac{9}{4}$。
5
求原级数之和
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原级数 $=S_1-S_2=\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$。
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