将原级数拆分为两部分：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{3^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}=S_1-S_2$。

$S_2=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n$。利用等比级数和公式 $\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$，令 $x=\frac{1}{3}$，得 $S_2=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$。

$S_1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n-1}}$。设 $S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$，逐项积分得 $\int_0^xS_1(x)\,\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$。

对上式求导得 $S_1(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}$。令 $x=\frac{1}{3}$，得 $S_1=\frac{1}{(1-1/3)^2}=\frac{9}{4}$。

原级数 $=S_1-S_2=\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$。