第57题
将函数 $f(x)=\ln x$ 展开成 $x-3$ 的幂级数。
答案
$\ln 3+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$ $(0<x\leq 6)$
📖 前置知识梳理
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本题考查函数展开成幂级数的方法。
要点1：泰勒级数 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$。
要点2：几个常用函数的幂级数展开必须熟记：$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$（$-\infty<x<+\infty$）；$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$（$-\infty<x<+\infty$）；$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$（$-1<x<1$）；$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$（$-1<x<1$）；$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$（$-1<x\leq 1$）。解题关键是将目标函数变形为已知展开式的形式，特别注意收敛域的确定。
要点1：泰勒级数 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$。
要点2：几个常用函数的幂级数展开必须熟记：$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$（$-\infty<x<+\infty$）；$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$（$-\infty<x<+\infty$）；$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$（$-1<x<1$）；$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$（$-1<x<1$）；$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$（$-1<x\leq 1$）。解题关键是将目标函数变形为已知展开式的形式，特别注意收敛域的确定。
📋 解题步骤
1
变形
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$f(x)=\ln x=\ln(3+x-3)=\ln 3+\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)$。
2
利用已知展开式
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由 $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n$ ($-1<t\leq 1$)，令 $t=\frac{x-3}{3}$。
3
得到展开式
▼
$\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{x-3}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$。
4
写出结果并确定收敛域
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$f(x)=\ln 3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$。由 $-1<\frac{x-3}{3}\leq 1$ 得收敛域为 $0<x\leq 6$。
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