真题库 期末复习 知识点 随机一题
第57题
将函数 $f(x)=\ln x$ 展开成 $x-3$ 的幂级数。
答案
$\ln 3+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$ $(0<x\leq 6)$
泰勒级数展开 对数函数的幂级数展开 幂级数收敛域

📋 解题步骤

1
变形
▼
$f(x)=\ln x=\ln(3+x-3)=\ln 3+\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)$。
2
利用已知展开式
▼
由 $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n$ ($-1
3
得到展开式
▼
$\ln\left(1+\frac{x-3}{3}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{x-3}{3}\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$。
4
写出结果并确定收敛域
▼
$f(x)=\ln 3+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 3^n}(x-3)^n$。由 $-1<\frac{x-3}{3}\leq 1$ 得收敛域为 $0
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