第58题
将函数 $f(x) = \dfrac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数。
答案
$f(x) = \dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^n + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right] x^{n+1}$, $x \in (-1,1)$
📖 前置知识梳理
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本题考查有理函数展开成幂级数的方法。核心要点：$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$（$-1<x<1$）和 $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots$（$-1<x<1$）。解题步骤：先用部分分式分解将复杂有理函数拆分为简单分式，再将各分式变形为 $\frac{1}{1\pm x}$ 或 $\frac{1}{1\pm ax}$ 的形式，最后利用已知展开式。注意收敛域取各展开式收敛域的交集。
📋 解题步骤
1
部分分式分解
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对分母因式分解：$$\frac{1}{2+x-x^2} = \frac{1}{(1+x)(2-x)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{2-x}\right)$$
2
展开各部分为幂级数
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利用几何级数 $\dfrac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n$ ($|t|<1$)：
- $\dfrac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, $x \in (-1,1)$;
- $\dfrac{1}{2-x} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-x/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{2^{n+1}}$, $x \in (-2,2)$.
3
合并并乘以 $x$
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将两个级数相加并乘以 $x$：$$f(x) = \frac{x}{3}\left[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2^{n+1}}\right] = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left[(-1)^n + \frac{1}{2^{n+1}}\right] x^{n+1}$$
4
确定收敛域
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两个级数收敛域的交集为 $(-1,1)$，故展开式的收敛域为 $(-1,1)$。
倍速：
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