第59题
将函数 $f(x)=x$ ($-\pi < x < \pi$) 展开成傅里叶级数，并求级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{2n-1}$ 的和。
答案
$x = 2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{\sin(nx)}{n}$ ($x \in (-\pi, \pi)$); $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{2n-1} = \dfrac{\pi}{4}$
📖 前置知识梳理
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本题考查函数展开成傅里叶级数。要点：函数展开成傅里叶级数 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，其中 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$（$n=0,1,2,\cdots$），$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$（$n=1,2,3,\cdots$）。若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a_n=0$，$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$，展开为正弦级数。解题关键是利用函数的奇偶性简化计算，然后通过代入特殊值求数项级数的和。
📋 解题步骤
1
判断奇偶性并求系数
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因为 $f(x)=x$ 在 $(-\pi,\pi)$ 上是奇函数，故 $a_n=0$ ($n=0,1,2,\dots$)。$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\mathop{}\!{d}x$$由分部积分：$$b_n = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{n\pi}\int_0^{\pi}\cos(nx)\mathop{}\!{d}x = (-1)^{n+1}\frac{2}{n}$$
2
写出傅里叶级数
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$$x = 2\left(\frac{\sin x}{1} - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n} + \cdots\right) = 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}$$其中 $x \in (-\pi, \pi)$。
3
代入特定值求级数和
▼
令 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 代入，注意 $\sin\left(n\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)$ 在 $n$ 为奇数时为 $(-1)^{(n-1)/2}$，在 $n$ 为偶数时为0。可得：$$\frac{\pi}{2} = 2\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\right) = 2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}$$
4
得出级数的和
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整理得：$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1} = \frac{\pi}{4}$$
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