第60题
设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为：$$f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi \le x < 0, \\ \dfrac{x}{2}, & 0 \le x < \pi. \end{cases}$$(1) 计算 $f(x)$ 的傅里叶级数 $\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 中的 $a_n$ ($n \ge 0$)；(2) 若该级数收敛于 $S(x)$，请计算 $S(5\pi)$, $S(3.6)$。
答案
(1) $a_0 = \dfrac{\pi}{4}$, $a_n = \dfrac{(-1)^n - 1}{2\pi n^2}$ ($n=1,2,\dots$); (2) $S(5\pi) = \dfrac{\pi}{4}$, $S(3.6) = 0$
📋 解题步骤
1
计算 $a_0$
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$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathop{}\!{d}x = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{x}{2} \mathop{}\!{d}x = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{x^2}{4}\bigg|_0^{\pi} = \frac{\pi}{4}$$
2
计算 $a_n$ ($n \ge 1$)
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$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \mathop{}\!{d}x = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{x}{2}\cos(nx) \mathop{}\!{d}x$$由分部积分：$$= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{n}\left[x\sin(nx)\right]_0^{\pi} - \frac{1}{2n\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\mathop{}\!{d}x$$其中第一项 $[x\sin(nx)]_0^{\pi}=0$。继续计算：$$= \frac{1}{2n\pi} \cdot \frac{1}{n}[\cos(nx)]_0^{\pi} = \frac{1}{2\pi n^2}[(-1)^n - 1]$$
3
计算 $S(5\pi)$
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根据狄利克雷收敛定理，在间断点处 $S(x) = \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$。因周期为 $2\pi$，故 $S(5\pi) = S(\pi)$。在 $x=\pi$ 处：\begin{itemize}\item 左极限 $f(\pi^-) = \lim\limits_{x\to\pi^-} \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi}{2}$;\item 右极限 $f(\pi^+) = f(-\pi^+) = 0$ (周期延拓后在 $[-\pi,0)$ 上 $f(x)=0$).\end{itemize}故$$S(5\pi) = S(\pi) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) = \frac{\pi}{4}$$
4
计算 $S(3.6)$
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注意 $\pi \approx 3.1416 < 3.6 < 2\pi \approx 6.2832$。利用周期性 $S(3.6) = S(3.6 - 2\pi)$。而 $3.6 - 2\pi \approx -2.683 < 0$，且 $-\pi < -2.683 < 0$，在该区间内 $f(x)=0$ 为常数，函数连续。故 $S(3.6) = f(3.6-2\pi) = 0$。
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