每日一题

2026-10-19 高等数学填空题第三章微分中值定理与导数的应用简单

设 $(1,3)$ 是曲线 $y = x^3 + ax^2 + bx + 14$ 的拐点，则 $a = $ ______，$b = $ ______。

答案：$a=-3,\ b=-9$

求二阶导数

求出 $y''=6x+2a$。

利用拐点条件建立方程

$(1,3)$ 为该曲线拐点 $\Rightarrow$ $$\begin{array}{l} y(1)=1+a+b+14=3 \\ y''(1)=6+2a=0 \end{array}$$ $\Rightarrow a=-3,\ b=-9$。

验证确为拐点

代回得 $y''(x)=6x-6=6(x-1)$：$x<1$ 时 $y''<0$，$x>1$ 时 $y''>0$，二阶导数在 $x=1$ 两侧变号，所以 $(1,3)$ 确实是拐点。因此 $a=-3,\ b=-9$。