每日一题

高等数学填空题曲线积分与曲面积分中等

设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint_L z\,dx+y\,dz=$____

答案：$\pi$

应用斯托克斯公式

取 $\Sigma$ 为平面 $y+z=0$ 被柱面截得的椭圆面（上侧），则 $\oint_L z\,dx+y\,dz=\iint_\Sigma dy\,dz+dz\,dx$。

化为投影区域上的积分

$\Sigma$ 在 $xOy$ 面投影为单位圆盘 $D_{xy}$，由 $\Sigma$ 方程 $z=-y$ 得上侧法向量方向，积分化为 $\iint_{D_{xy}}(0+1)\,dx\,dy$。

计算二重积分

$D_{xy}$ 为单位圆 $x^2+y^2\leq 1$，面积为 $\pi$，故积分值为 $\pi$。