一、平面方程
点法式方程：已知平面 $\pi$ 过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$，则平面 $\pi$ 上任意一点 $P(x,y,z)$ 满足 $\overrightarrow{P_0P} \perp \vec{n}$，即
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
一般方程：平面的一般式为 $Ax+By+Cz+D=0$，其法向量即为系数向量
$\vec{n}=(A,B,C)$
例1：过三点求平面方程
求过三点 $M_1(2,-1,4)$、$M_2(-1,3,-2)$、$M_3(0,2,3)$ 的平面方程。
由 $\overrightarrow{M_1M_2}=(-3,4,-6)$，$\overrightarrow{M_1M_3}=(-2,3,-1)$，得平面的法向量为两者叉积：$\vec{n}=\overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3}$。再代入点法式即可得到平面方程。
例2：过点且垂直于两已知平面
求过点 $M(2,1,1)$ 且垂直于平面 $3x-2y+z-4=0$ 和 $2x+3y-4z+5=0$ 的平面方程。
两已知平面的法向量分别为 $\vec{n_1}=(3,-2,1)$、$\vec{n_2}=(2,3,-4)$。所求平面的法向量与两者都垂直，故 $\vec{n}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}=(5,14,13)$。结合点 $M(2,1,1)$ 写出点法式方程。
二、空间直线方程
点向式方程：已知直线 $L$ 过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\vec{s}=(m,n,p)$，则直线方程为
$\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$
一般方程：空间直线可看作两个平面的交线，用联立方程组表示
$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$
参数方程：若直线 $L$ 过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\vec{s}=(m,n,p)$，则可写成
$\begin{cases} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{cases}$
例3：过点且平行于已知直线
求过点 $A(3,0,-1)$ 且平行于直线 $\begin{cases} x+2z-4=0 \\ y+3z-5=0 \end{cases}$ 的直线方程。
记两已知平面的法向量为 $\vec{n_1}=(1,0,2)$、$\vec{n_2}=(0,1,3)$，则已知直线的方向向量为 $\vec{s}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}=(-2,-3,1)$。所求直线与之平行，方向向量相同，结合点 $A(3,0,-1)$ 得点向式方程 $\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z+1}{1}$。
例4：直线与平面的交点和夹角
求直线 $L: x-2=y-3=\dfrac{z-4}{2}$ 与平面 $\pi: 2x-y+z-8=0$ 的交点和夹角。
先把直线写成参数式 $\begin{cases} x=2+t \\ y=3+t \\ z=4+2t \end{cases}$，代入平面方程得 $2(2+t)-(3+t)+(4+2t)-8=0$，解得 $t=1$，故交点为 $(3,4,6)$。设直线与平面的夹角为 $\theta$，方向向量 $\vec{s}=(1,1,2)$ 与法向量 $\vec{n}=(2,-1,1)$ 的夹角为 $\varphi$，则 $\varphi \pm \theta=\dfrac{\pi}{2}$，所以 $\sin\theta=|\cos\varphi|$。
三、常见二次曲面
椭球面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
椭圆锥面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$
单叶双曲面
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$
双曲抛物面（马鞍面）
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=cz \quad (c \ne 0)$
注意：以上常见曲面在后面三重积分及曲线、曲面积分中会经常见到，要求会画图。
📝 知识点总结
本节系统梳理空间解析几何的核心内容。先介绍平面的点法式方程与一般方程，并通过两道例题演示如何利用向量叉积求法向量；再讲解空间直线的点向式、一般式与参数式方程及典型例题；最后列出后续学习三重积分、曲线曲面积分中常见的二次曲面及其标准方程，要求学生能识别并绘制图形。