(本题满分 11 分) 设 $D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ , $[1 + x^2 + y^2]$ 表示不超过 $1 + x^2 + y^2$ 的最大整数，计算二重积分 $\iint_{D} xy[1 + x^2 + y^2] \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ .