(本题满分 12 分) 设函数 $f(u)$ 在 $(0, +\infty)$ 内具有二阶导数，且 $z = f(\sqrt{x^2 + y^2})$ 满足等式 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0.$ (I) 验证 $f^{\prime \prime}(u) + \frac{f^{\prime}(u)}{u} = 0$ ; （Ⅱ）若 $f(1) = 0, f'(1) = 1$ ，求函数 $f(u)$ 的表达式.