(本题满分 12 分) 设在上半平面 $D = \{(x,y) \mid y > 0\}$ 内，函数 $f(x,y)$ 具有连续偏导数，且对任意的 $t > 0$ 都有 $$ f (t x, t y) = t ^ {- 2} f (x, y). $$ 证明：对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ ，都有 $\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d}x - x f(x, y) \mathrm{d}y = 0$ .