(本题满分 11 分) (I) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 则存在 $\xi \in (a, b)$ , 使得 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ . (II) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续, 在 $(0, \delta)$ ( $\delta > 0$ ) 内可导, 且 $\lim_{x \to 0^{+}} f'(x) = A$ , 则 $f'_+(0)$ 存在, 且 $f'_+(0) = A$ .