(本题满分10分) ( I ) 证明: 对任意的正整数 $n$ , 都有 $\frac{1}{n + 1} < \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$ 成立; （Ⅱ）设 $a_{n} = 1 + \frac{1}{2} +\dots +\frac{1}{n} -\ln n(n = 1,2,\dots)$ ，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛.