(本题满分11分) 设 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 0\\ 0 & 1 & a & 0\\ 0 & 0 & 1 & a\\ a & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \pmb {\beta} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} .$ （I）计算行列式 $|\mathbf{A}|$ ； （Ⅱ）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $Ax = \beta$ 有无穷多解，并求其通解