(本题满分 11 分) 设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x;\theta) = \left\{ \begin{array}{ll}1 - \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{\theta}}, & x\geqslant 0,\\ 0, & x < 0, \end{array} \right.$ 其中 $\theta$ 是未知参数且大于零. $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. (I) 求 $E(X)$ 与 $E(X^2)$ ; （Ⅱ）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta}_n$ (III) 是否存在实数 $a$ , 使得对任何 $\varepsilon > 0$ , 都有 $\lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\widehat{\theta}_{n}\right| \geqslant \varepsilon\right\} = 0$ ?