(本题满分10分) 已知平面区域 $D = \left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1 + \cos \theta), -\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$ , 计算二重积分 $\iint_{D} x \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ .