(本题满分 10 分) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有2阶导数，且 $f(1) > 0, \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0.$ 证明： (I) 方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根； （Ⅱ）方程 $f(x)f''(x) + [f'(x)]^2 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.