(本题满分 11 分) 设向量组 $\pmb{\alpha}_{1} = (1,2,1)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{2} = (1,3,2)^{\mathrm{T}},\pmb{\alpha}_{3} = (1,a,3)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基， $\pmb {\beta} = (1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在这个基下的坐标为 $(b,c,1)^{\mathrm{T}}$ (I) 求 $a, b, c$ ; （Ⅱ）证明 $\alpha_{2},\alpha_{3},\beta$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基，并求 $\alpha_{2},\alpha_{3},\beta$ 到 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 的过渡矩阵