设函数 $f(x,y)$ 在点(0，0）处可微， $f(0,0) = 0,n = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, - 1\right)\bigg|_{(0,0)}$ 非零向量 $\pmb{\alpha}$ 与 $\pmb{n}$ 垂直，则（ ）. (A) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|n\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在 (B) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|n\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在 (C) $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|\pmb{\alpha}\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{|\pmb{\alpha}\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ 存在 4）设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径， $r$ 是实数，则（ ）. （A）当 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n}r^{2n}$ 发散时， $|r|\geqslant R$ (B) 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 收敛时, $|r| \leqslant R$ (C) 当 $|r| \geqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 发散 (D) 当 $|r| \leqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n} r^{2n}$ 收敛 5）若矩阵 $\mathbf{A}$ 经过初等列变换化成 $\pmb{B}$ ，则（ ）. （A）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $PA = B$ （B）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $BP = A$ （C）存在矩阵 $\pmb{P}$ ，使得 $PB = A$ (D) 方程组 $AX = 0$ 与 $BX = 0$ 同解 6）已知直线 $L_{1}:\frac{x - a_{2}}{a_{1}} = \frac{y - b_{2}}{b_{1}} = \frac{z - c_{2}}{c_{1}}$ 与直线 $L_{2}:\frac{x - a_{3}}{a_{2}} = \frac{y - b_{3}}{b_{2}} = \frac{z - c_{3}}{c_{2}}$ 相交于一点，记向量 $\pmb{\alpha}_{i} = \begin{pmatrix} a_{i}\\ b_{i}\\ c_{i} \end{pmatrix} ,i = 1,2,3$ ，则（ ）. (A) $\pmb{\alpha}_{1}$ 可由 $\pmb{\alpha}_{2},\pmb{\alpha}_{3}$ 线性表示 (B) $\pmb{\alpha}_{2}$ 可由 $\pmb{\alpha}_{1},\pmb{\alpha}_{3}$ 线性表示 (C) $\alpha_{3}$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示 (D) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关 7）设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, P(AB) = 0,$ $P(AC) = P(BC) = \frac{1}{12}$ ，则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为（ ）. (A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{5}{12}$ 8）设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $P\{X = 0\} = P\{X = 1\} = \frac{1}{2}, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得 $P\{\sum_{i=1}^{100} X_{i} \leqslant 55\}$ 的近似值为（ ）. (A) $1 - \Phi (1)$ (B) $\Phi (1)$ (C) $1 - \Phi (0,2)$ (D) $\Phi(0.2)$ # 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.） 9) $\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\mathrm{e}^x - 1} -\frac{1}{\ln(1 + x)}\right] = \underline{\quad}$ 10）设 $\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt{t^2 + 1},\\ y = \ln (t + \sqrt{t^2 + 1}), \end{array} \right.$ 则 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\bigg|_{t = 1} = .$ 11）设函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x) + af^{\prime}(x) + f(x) = 0(a > 0)$ ，且 $f(0) = m, f^{\prime}(0) = n$ ，则 $\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = \underline{\quad}$ 12）设函数 $f(x,y) = \int_0^{xy}\mathrm{e}^{xt^2}\mathrm{d}t$ ，则 $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\bigg|_{(1,1)} = \underline{\quad}$