（本题满分10分） 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_1 = 1,(n + 1)a_{n + 1} = \left(n + \frac{1}{2}\right)a_n$ ，证明：当 $|x| < 1$ 时，幂级数 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$ 收敛，并求其和函数.