（本题满分12分） 设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 是有界单连通闭区域， $I(D) = \iint_{D} (4 - x^2 - y^2) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ 取得最大值的积分区域为 $D_1$ . （I）求 $I(D_{1})$ 的值； （Ⅱ）计算 $\int_{\partial D_1} \frac{(x \mathrm{e}^{x^2 + 4y^2} + y) \mathrm{d}x + (4y \mathrm{e}^{x^2 + 4y^2} - x) \mathrm{d}y}{x^2 + 4y^2}$ ，其中 $\partial D_1$ 是 $D_1$ 的正向边界.