（本题满分12分） 已知 $\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr}a & 1 & -1\\ 1 & a & -1\\ -1 & -1 & a \end{array} \right).$ （I）求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{\mathrm{T}}AP$ 为对角矩阵； （Ⅱ）求正定矩阵 $\pmb{C}$ ，使得 $C^2 = (a + 3)\pmb {E} - \pmb {A}$