第1题
已知函数 $f { \big ( } x { \big ) } = \int _ { 0 } ^ { x } \mathbf e ^ { t ^ { 2 } } \sin t \mathrm d t$ ， $g \left( x \right) = \int _ { 0 } ^ { x } \mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } \mathrm { d } t \bullet \sin ^ { 2 } x$ ，则
A． $x = 0$ 是 $f ( x )$ 的极值点，也是 $g \left( x \right)$ 的极值点
B． $x = 0$ 是 $f ( x )$ 的极值点， $\left( 0 , 0 \right)$ 是曲线 $y = g \left( x \right)$ 的拐点
C． $x = 0$ 是 $f ( x )$ 的极值点， $\left( 0 , 0 \right)$ 是曲线 $y = f ( x )$ 的拐点．
D． $\left( 0 , 0 \right)$ 是曲线 $y = f ( x )$ 的拐点， $\left( 0 , 0 \right)$ 也是曲线 $y = g \left( x \right)$ 的拐点
答案
B
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
$$
f ^ {\prime} (x) = e ^ {x ^ {2}} \sin x, f ^ {\prime \prime} (x) = 2 x e ^ {x ^ {2}} \sin x + e ^ {x ^ {2}} \cos x
$$
2
建立方程或引用定理
▼
$$
f ^ {\prime} (0) = 0, f ^ {\prime \prime} (0) = 1 > 0.
$$
$x = 0$ 是 $f ( x )$ 的极值点.
3
代入计算或演绎推导
▼
$$
g ^ {\prime} (x) = e ^ {x ^ {2}} \sin^ {2} x + \sin 2 x \int_ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} d t,
$$
4
检验结果或讨论其他情况
▼
$$
g ^ {\prime \prime} (x) = e ^ {x ^ {2}} \sin 2 x + 2 x e ^ {x ^ {2}} \sin^ {2} x + \sin 2 x e ^ {x ^ {2}} + 2 \cos 2 x \int_ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} d t
$$
5
得出最终结论
▼
$$
g ^ {\prime} (0) = 0, \quad g ^ {\prime \prime} (0) = 0, \quad g ^ {\prime \prime \prime} (0) > 0.
$$
$( 0 , 0 )$ 是 $y = g ( x )$ 的拐点.
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