$$ \left| \sin \frac {n ^ {3} \pi}{n ^ {2} + 1} \right| = \left| \sin \left(\frac {n ^ {3} \pi}{n ^ {2} + 1} - n \pi\right) \right| = \left| \sin \frac {n}{n ^ {2} + 1} \pi \right| \sim \frac {n}{n ^ {2} + 1} \pi \sim \frac {1}{n}. $$ $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n } }$ ： $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sin \frac { n ^ { 3 } \pi } { n ^ { 2 } + 1 }$ sin $\begin{array} { r } { { \frac { ( n ^ { 3 } \pi ) } { n + 1 } } = ( - 1 ) ^ { n } \sin \left( { \frac { n ^ { 3 } \pi } { n ^ { 2 } + 1 } } - n \pi \right) = ( - 1 ) ^ { n } \sin { \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } } \pi } \end{array}$ (²-nπ）=（-1）sin ，为交错级数 $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sin \frac { n ^ { 3 } \pi } { n ^ { 2 } + 1 }$ 8 $s i n { \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } } \pi$

$$ \sum_ {n = 1} ^ {\infty} (- 1) ^ {n} \left(\frac {1}{\sqrt [ 2 ]{n ^ {3}}} - \tan \frac {1}{\sqrt [ 3 ]{n ^ {2}}}\right). $$

$$ \left| (- 1) ^ {n} \right| \frac {1}{\sqrt [ 2 ]{n ^ {3}}} - \tan \left. \frac {1}{\sqrt [ 3 ]{n ^ {2}}}\right) \Bigg | = \left| - \frac {1}{3} \frac {1}{n ^ {2}} + o \left(\frac {1}{n ^ {2}}\right) \right|. $$ $\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } }$ $\cdot \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \bigl ( } - 1 { \bigr ) } ^ { n } { \biggl ( } { \frac { 1 } { \sqrt [ 2 ] { n ^ { 3 } } } } - \tan { \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { n ^ { 2 } } } } { \biggr ) }$ （-1）n $\scriptstyle { \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { n ^ { 2 } } } } )$ 绝对收敛Vn Vn