由题知， $\begin{array} { r } { A = \left( \begin{array} { c c c } { 4 } & { 2 } & { - 3 } \\ { a } & { 3 } & { - 4 } \\ { b } & { 5 } & { - 7 } \end{array} \right) , } \end{array}$ ，若 $A ^ { 2 } x = 0$ 与 $A x = 0$ 同解 ，则 三秩 相同 ，即 $r \left( A \right) = r \left( A ^ { 2 } \right) = r \left( \begin{array} { c } { { A } } \\ { { A ^ { 2 } } } \end{array} \right)$ 。如果 $A$ 可逆，三秩显然相同，则 $A ^ { 2 } x = 0$ 与 $A x = 0$ 同解，于是要想 $A ^ { 2 } x = 0$ 与 $A x = 0$ 不同解，即 $A$ 不可逆，于是 $\left| { \cal A } \right| = 0$ 。根据行列式的倍加性质易得 

$$ \left| A \right| = \left| \left( \begin{array}{l l l} {4} & {2} & {- 3} \\ {a} & {3} & {- 4} \\ {b} & {5} & {- 7} \end{array} \right) \right| = \left| \left( \begin{array}{l l l} {4} & {2} & {- 1} \\ {a} & {3} & {- 1} \\ {b} & {5} & {- 2} \end{array} \right) \right| = \left| \left( \begin{array}{l l l} {4} & {0} & {- 1} \\ {a} & {1} & {- 1} \\ {b} & {1} & {- 2} \end{array} \right) \right| = 4 \left(- 2 + 1\right) - \left(a - b\right), \text {令} \left| A \right| = 0, $$ 有 $a - b = - 4$ 。