第14题
已知有向曲线 $L$ 是沿抛物线 $y = 1 - x ^ { 2 }$ 从点 $( 1 , 0 )$ 到点 $( - 1 , 0 )$ 的一段，则曲线积分
$$
\int_ {L} (y + \cos x) d x + (2 x + \cos y) d y = \underline {{}}.
$$
答案
$\frac { 4 } { 3 } - 2 \sin 1$
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
由题易知可作曲线如右图所示.
记 $L _ { 0 }$ 是从 $x = - 1$ 到 $x = 1$ 的直线,
并记曲线积 $I = \int _ { L } ( y + \cos x ) d x + ( 2 x + \cos y ) d y$
则在 $L _ { 0 }$ 与 $L$ 所围的封闭区域可用格林公式
即 $I _ { 1 } = \oint _ { L _ { 0 } + L } ( y + \cos x ) d x + ( 2 x + \cos y ) d y$
2
建立方程或引用定理
▼
$$
= \iint_ {D} 2 - 1 d \sigma = \int_ {- 1} ^ {1} d x \int_ {0} ^ {1 - x ^ {2}} d y = \int_ {- 1} ^ {1} (1 - x ^ {2}) d x = \frac {4}{3}
$$
又 $I _ { 2 } = \int _ { L _ { 0 } } ^ { 1 } ( y + \cos x ) d x + ( 2 x + \cos y ) d y = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \cos x d x = 2 \sin 1$ ,故 $I = \frac { 4 } { 3 } - 2 \sin 1$
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