令 $u = \frac { x } { y }$ ,则 $\frac { \partial g } { \partial x } = f ^ { \prime } \bigl ( u \bigr ) \frac { 1 } { y } , \frac { \partial g } { \partial y } = f ^ { \prime } \bigl ( u \bigr ) \biggl ( - \frac { x } { y ^ { 2 } } \biggr )$ 又 $g \left( x , x \right) = f \left( \frac { x } { x } \right) = f \left( 1 \right) = 1 , \frac { \partial g } { \partial x } \Big \vert _ { ( x , x ) } = f ^ { \prime } \left( 1 \right) \frac { 1 } { x } = \frac { 2 } { x } ,$ $f ^ { \prime } ( 1 ) = 2$

$$ \begin{array}{l} \frac {\partial^ {2} g}{\partial x ^ {2}} = \left(f ^ {\prime \prime} (u) \frac {1}{y}\right) \frac {1}{y} = f ^ {\prime \prime} (u) \frac {1}{y ^ {2}} \dots \dots . (1) \\ \frac {\partial^ {2} g}{\partial x \partial y} = f ^ {\prime \prime} (u) \left(- \frac {x}{y ^ {2}}\right) \frac {1}{y} + f ^ {\prime} (u) \left(- \frac {1}{y ^ {2}}\right) = - \frac {x}{y ^ {3}} f ^ {\prime \prime} (u) - \frac {1}{y ^ {2}} f ^ {\prime} (u). \tag {2} \\ \frac {\partial^ {2} g}{\partial y ^ {2}} = f ^ {\prime \prime} (u) \left(- \frac {x}{y ^ {2}}\right) \frac {x}{y} + f ^ {\prime} (u) \left(\frac {2 x}{y ^ {2}}\right) = \frac {x ^ {2}}{y ^ {4}} f ^ {\prime \prime} (u) + \frac {2 x}{y ^ {3}} f ^ {\prime} (u) \dots (3) \\ \end{array} $$ 将（1）（2）（3）代入 22 2gx   $x ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial x ^ { 2 } } + x y \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial x \partial y } + y ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial y ^ { 2 } } = 1$ 2y  化简得：x    2 u f  u  uf  u  1 ，即    1f u f u   $u ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( u ) + u f ^ { \prime } ( u ) = 1$ $f ^ { \prime \prime } { \bigl ( } u { \bigr ) } + { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } f ^ { \prime } { \bigl ( } u { \bigr ) } = { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } .$ 12 令 $\mathbf { \nabla } ^ { \prime } p ^ { \prime } = f ^ { \prime } ( u )$ 则 $| p ^ { \prime } + \frac { 1 } { u } p ^ { \prime } = \frac { 1 } { u ^ { 2 } }$ 2 u

$$ p = e ^ {- \int_ {u} ^ {\frac {1}{u}} d u} \left[ \int \frac {1}{u ^ {2}} e ^ {\int_ {u} ^ {\frac {1}{u}} d u} d u + C \right] = \frac {1}{u} \left[ \int \frac {1}{u} d u + C \right] = \frac {\ln u}{u} + \frac {C}{u} $$ 又 $\left. p ^ { \prime } \right| _ { u = 1 } = C = 2$ ，故 $p = { \frac { \ln u } { u } } + { \frac { 2 } { u } }$ 因此 ， f ln u 2   ，积分得   lf u   $\frac { \partial f } { \partial u } = \frac { \ln u } { u } + \frac { 2 } { u }$ $f \left( u \right) = \int \left( \frac { \ln u } { u } + \frac { 2 } { u } \right) d u = \frac { 1 } { 2 } \ln ^ { 2 } u + 2 \ln u + C \ ,$ u u u 又 $f ( 1 ) = C = 1$ ，故 $f { \bigl ( } u { \bigr ) } = { \frac { 1 } { 2 } } \ln ^ { 2 } u + 2 \ln u + 1$ 。 # 19.（本题满分 10分） 设函数 $f ( x )$ 在区间 $\left( a , b \right)$ 内可导.证明导函数 $f ^ { \prime } ( x )$ 在 $\left( a , b \right)$ 内严格单调增加的充分必要条件是:对 $\scriptstyle ( a , b )$ 内任意的 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 }$ ,当 $x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 }$ 时 $\frac { f \left( x _ { 2 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } < \frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 2 } } .$ 解：充分性：若对 $( a , b )$ 内任意的 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 }$ ，当 $x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 }$ 时，都有

$$ \frac {f \left(x _ {2}\right) - f \left(x _ {1}\right)}{x _ {2} - x _ {1}} < \frac {f \left(x _ {3}\right) - f \left(x _ {2}\right)}{x _ {3} - x _ {2}} $$ $( a , b )$ 内取任意的 $x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 } < x _ { 4 } < x _ { 5 }$ ，有则在 $$ \frac {f \left(x _ {2}\right) - f \left(x _ {1}\right)}{x _ {2} - x _ {1}} < \frac {f \left(x _ {3}\right) - f \left(x _ {2}\right)}{x _ {3} - x _ {2}} < \frac {f \left(x _ {4}\right) - f \left(x _ {3}\right)}{x _ {4} - x _ {3}} < \frac {f \left(x _ {5}\right) - f \left(x _ {4}\right)}{x _ {5} - x _ {4}} $$ 在 $\frac { f \left( x _ { 2 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } < \frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 2 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 2 } }$ 两边同时令 2 1x x  ，得 $x _ { 2 } { x _ { 1 } } ^ { + }$ $f _ { + } ^ { ^ { \prime } } \left( x _ { 1 } \right) \leq \frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 1 } }$ ，两边同时令 $x _ { 2 } { x _ { 3 } } ^ { - }$ ，得 $\frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } \leq f _ { - } ^ { ^ { \prime } } \left( x _ { 3 } \right)$ ，即      3 1f x f xf x    $f _ { + } ^ { ^ { \prime } } \left( x _ { 1 } \right) \leq \frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } { \leq f _ { - } ^ { ^ { \prime } } \left( x _ { 3 } \right) }$ ，同 理可 得 ${ f _ { + } } ^ { \prime } \left( x _ { 3 } \right) \leq \frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } { \leq } { f _ { - } } ^ { \prime } \left( x _ { 5 } \right)$ . 因为 $\frac { f \left( x _ { 3 } \right) - f \left( x _ { 1 } \right) } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } < \frac { f \left( x _ { 5 } \right) - f \left( x _ { 3 } \right) } { x _ { 5 } - x _ { 3 } }$ f  x1  f  x5    .由 1 5 x , x 的任意性，可得 f   x  在 ${ f _ { \mathrm { + } } ^ { \prime } } \left( x _ { 1 } \right) \le { f _ { \mathrm { - } } ^ { \prime } } \left( x _ { 5 } \right)$ $x _ { 1 } , x _ { 5 }$ $f ^ { \prime } ( x )$ $\scriptstyle ( a , b )$ 内严格单调递增，充分性得证。 再证必要性，即已知 f  x 单调递增，在 x1 , x2 , x2 , x3  上分别使用拉格朗日中值定理， $f ^ { \prime } ( x )$ $\left[ x _ { 1 } , x _ { 2 } \right] , \left[ x _ { 2 } , x _ { 3 } \right]$ 知存在 $\xi _ { 1 } \in { \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } , \xi _ { 2 } \in { \left( x _ { 2 } , x _ { 3 } \right) }$ ，使

$$ f ^ {\prime} \left(\xi_ {1}\right) = \frac {f \left(x _ {2}\right) - f \left(x _ {1}\right)}{x _ {2} - x _ {1}}, \quad f ^ {\prime} \left(\xi_ {2}\right) = \frac {f \left(x _ {3}\right) - f \left(x _ {2}\right)}{x _ {3} - x _ {2}}, $$ 又由 f   x  单调递增，且 1 2    知， f 1   f 2  ，即 $f ^ { \prime } ( x )$ $\xi _ { 1 } < \xi _ { 2 }$ $f ^ { \prime } { \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 1 } \right) } < f ^ { \prime } { \left( { \boldsymbol { \xi } } _ { 2 } \right) }$