由题意可知直线 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = 0 } \\ { y = 0 } \end{array} } \right.$ 0y  记为 $l _ { 1 }$ ； $\left\{ \begin{array} { l } { x = t } \\ { y = t } \\ { z = t } \end{array} \right.$ , 记为 $l _ { 2 }$ ，则直 线 $l _ { 1 }$ 绕直 线 $l _ { 2 }$ 旋转 所得 曲 面 $\Sigma$ 为 $\left( x - t \right) ^ { 2 } + \left( y - t \right) ^ { 2 } + \left( z - t \right) ^ { 2 } = 3 t ^ { 2 }$ 。已知 $\Sigma _ { 1 }$ 是 $\Sigma$ 介于平面 $x + y + z = 0$ 和平面$x + y + z = 1$ 之间的外侧，则补面 $\Sigma _ { 0 } : x + y + z = 1$ ，方向指向外侧。则 $\Sigma _ { 0 }$ 与 $\Sigma _ { 1 }$ 所围为封闭区域，则由高斯公式可知

$$ I _ {1} = \oiint_ {\Sigma_ {0} + \Sigma_ {1}} x \mathrm {d} y \mathrm {d} z + (y + 1) \mathrm {d} z \mathrm {d} x + (z + 2) \mathrm {d} x \mathrm {d} y $$ $= \iiint _ { \Omega } ( 1 + 1 + 1 ) \mathrm { d } \nu = 3 \iiint _ { \Omega } \mathrm { d } \nu = 3 \cdot { \frac { 1 } { 3 } } \pi { \left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right) } ^ { 2 } { \left( { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \right) } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } \pi$ (注： $\Omega$ 为圆 锥体 ) 。 记 $D _ { x y }$ 为 $\Sigma _ { 0 }$ 在xoy面上的投影， $D _ { _ { x y } } = \left\{ ( x , y ) | 0 { \leqslant } x + y { \leqslant } 1 , x \geq 0 , y \geq 0 \right\}$

$$ \begin{array}{l} = \iint_ {D _ {x y}} x \mathrm {d} x \mathrm {d} y + (y + 1) \mathrm {d} x \mathrm {d} y + (3 - x - y) \mathrm {d} x \mathrm {d} y \\ = \iint_ {D _ {x y}} 2 d x d y = 2 \cdot \frac {1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1 \\ \end{array} $$ 故 $I = I _ { 1 } - I _ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } \pi - 1$