第22题
（本题满分 12分）
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 Y 与投保人的损失额 $X$ 的关系为$Y = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , X \leq 1 0 0 , } \\ { x - 1 0 0 , X > 1 0 0 . } \end{array} \right. }$ 设 定 损 事 件 发 生 时 ， 投 保 人 的 损 失 额 $X$ 的 概 率 密 度 为
$$
f (x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac {2 \times 1 0 0 ^ {2}}{(1 0 0 + x) ^ {3}}, x > 0, \\ 0, x \leq 0. \end{array} \right.
$$
（1）求 $P \{ Y > 0 \}$ 及 $E Y$ .
（2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ，假设 $N$ 服从参数为8的泊松分布，在 $N = n \left( n \geq 1 \right)$ 的条件下， $M$ 服从二项分布 $B ( n , p )$ ，其中 $p = P \{ Y > 0 \}$ ，求 $M$ 的概率分布.
答案
见解析
📋 解题步骤
1
分析题意，确定思路
▼
$\mid { \cal P } \{ Y > 0 \} = { \cal P } \{ X - 1 0 0 > 0 \} = { \cal P } \{ X > 1 0 0 \} = \int _ { 1 0 0 } ^ { + \infty } \frac { 2 \times 1 0 0 ^ { 2 } } { \left( 1 0 0 + x \right) ^ { 3 } } d x = \frac { 1 } { 4 }$ dx =
2
建立方程或引用定理
▼
$$
E Y = \int_ {1 0 0} ^ {+ \infty} (x - 1 0 0) \frac {2 \times 1 0 0 ^ {2}}{(1 0 0 + x) ^ {3}} d x = 5 0
$$
(2)
3
代入计算或演绎推导
▼
$$
N \sim P (8) = \{M \mid N = n \} \sim B \left(n, \frac {1}{4}\right)
$$
4
检验结果或讨论其他情况
▼
$$
\begin{array}{l} P \{M = m \} = \sum_ {n = m} ^ {\infty} P \{N = n \} \cdot P \{M = m \mid N = n) \\ = \sum_ {n = m} ^ {\infty} \frac {8 ^ {n}}{n !} e ^ {- 8} \cdot C _ {n} ^ {m} \cdot \left(\frac {1}{4}\right) ^ {m} \cdot \left(\frac {3}{4}\right) ^ {n - m} \\ = \sum_ {n = m} ^ {\infty} \frac {8 ^ {n}}{n !} e ^ {- 8} \cdot \frac {n !}{m ! (n - m) !} \left(\frac {1}{4}\right) ^ {m} \cdot \left(\frac {3}{4}\right) ^ {n - m} \\ = \left(\frac {1}{4}\right) ^ {m} e ^ {- 8} \frac {8 ^ {m}}{m !} \sum_ {n = m} ^ {\infty} \frac {8 ^ {n - m}}{(n - m) !} \cdot \left(\frac {3}{4}\right) ^ {n - m} \\ = \left(\frac {1}{4}\right) ^ {m} e ^ {- 8} \frac {8 ^ {m}}{m !} \sum_ {n = m} ^ {\infty} \frac {6 ^ {n - m}}{(n - m) !} = \frac {2 ^ {m}}{m !} e ^ {- 2} \\ \end{array}
$$
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