（1） $f ( \lambda ) = \mid A - \lambda E \mid = ( 1 - \lambda ) [ ( \lambda - a ) ( \lambda + 1 ) + 4 ]$ 可得 $( 1 - a ) ( 1 + 1 ) + 4 = 0 , a = 3$ $a = 3$ （2）由（1）可知 $A = \left( \begin{array} { r r r } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 2 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 3 } } \end{array} \right) , | A - \lambda E | = 0$ ,得 $\pmb { A }$ 中 $\lambda _ { 1 } = \lambda _ { 2 } = \lambda _ { 3 } = 1$ ，

$$ A \alpha = \alpha + \beta . A ^ {2} \alpha = \alpha + 2 \beta \Rightarrow (A - E) \alpha = \beta , \left(A ^ {2} - E\right) \alpha = 2 \beta = 2 (A - E) \alpha $$ $\left( A - E \right) ^ { 2 } { \pmb { a } } = { \pmb { 0 } }$ ,其中 $( \pmb { A } - \pmb { E } ) ^ { 2 } \mp \pmb { \operatorname { \_ } }$ ,故 $\pmb { \alpha }$ 为任意的非零向量， ${ \pmb { a } } = \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \right) ^ { \operatorname { T } } , a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \neq 0$

$$ \Rightarrow \boldsymbol {\beta} = (\boldsymbol {A} - \boldsymbol {E}) \boldsymbol {\alpha} = \left( \begin{array}{l l l} - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} a _ {1} \\ a _ {2} \\ a _ {3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 2 a _ {3} - a _ {1} - a _ {2} \\ 2 a _ {3} - a _ {1} - a _ {2} \\ 2 a _ {3} - a _ {1} - a _ {2} \end{array} \right) $$ 其中 $a _ { 1 } + a _ { 2 } \neq 2 a _ { 3 }$ 则综上 $\mathbf { \Delta } \cdot \mathbf { a } = { \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right) } , \mathbf { \beta } \mathbf { \int } \mathbf { = } { \left( \begin{array} { l } { 2 a _ { 3 } - a _ { 1 } - a _ { 2 } } \\ { 2 a _ { 3 } - a _ { 1 } - a _ { 2 } } \\ { 2 a _ { 3 } - a _ { 1 } - a _ { 2 } } \end{array} \right) } , \left( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \neq 0 , a _ { 1 } + a _ { 2 } \neq 2 a _ { 3 } \right)$