第1题
玻璃杯成箱出售，每箱$20$只，设每箱含$0$、$1$、$2$只次品的概率分别为$0.8$、$0.1$、$0.1$。顾客购买时，售货员随机取一箱，顾客随机地看$4$只，若无次品则买下，否则退回。求：\(1\) 售货员随机地取一箱，顾客买下的概率；\(2\) 在顾客买下的一箱中无次品的概率。
答案
\(1\) $\dfrac{448}{475}$；\(2\) $\dfrac{95}{112}$
📖 前置知识梳理
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本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的综合应用题。
解题思路：首先识别出这是一个'由因推果'（第1问）和'由果推因'（第2问）的问题。$B_0, B_1, B_2$ 构成完备事件组（原因），$A$ 是结果。
第(1)问用全概率公式，将各原因导致结果的概率加权求和；第(2)问用贝叶斯公式，在已知结果发生的条件下，反推某个原因发生的概率。
关键易错点：计算条件概率 $P(A|B_i)$ 时，要用组合数计算从正品中抽取4件的概率。当箱中有 $i$ 件次品时，有 $20-i$ 件正品，从正品中取4件的组合数为 $C_{20-i}^4$，总取法为 $C_{20}^4$。
解题思路：首先识别出这是一个'由因推果'（第1问）和'由果推因'（第2问）的问题。$B_0, B_1, B_2$ 构成完备事件组（原因），$A$ 是结果。
第(1)问用全概率公式，将各原因导致结果的概率加权求和；第(2)问用贝叶斯公式，在已知结果发生的条件下，反推某个原因发生的概率。
关键易错点：计算条件概率 $P(A|B_i)$ 时，要用组合数计算从正品中抽取4件的概率。当箱中有 $i$ 件次品时，有 $20-i$ 件正品，从正品中取4件的组合数为 $C_{20-i}^4$，总取法为 $C_{20}^4$。
📋 解题步骤
1
设定事件
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设$A$：顾客买下察看的一箱；$B_i$：所察看箱中有$i$件次品，$i=0,1,2$。已知$P(B_0)=0.8$，$P(B_1)=0.1$，$P(B_2)=0.1$。
2
计算条件概率
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$P(A|B_0)=1$；$P(A|B_1)=\dfrac{\mathrm{C}_{19}^{4}}{\mathrm{C}_{20}^{4}}=\dfrac{4}{5}$；$P(A|B_2)=\dfrac{\mathrm{C}_{18}^{4}}{\mathrm{C}_{20}^{4}}=\dfrac{12}{19}$。
3
全概率公式求P(A)
▼
由全概率公式：$P(A)=P(B_0)P(A|B_0)+P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)=0.8\times1+0.1\times\dfrac{4}{5}+0.1\times\dfrac{12}{19}=\dfrac{448}{475}$（或$\dfrac{89.6}{95}$）。
4
贝叶斯公式求P(B0|A)
▼
由贝叶斯公式：$P(B_0|A)=\dfrac{P(B_0)P(A|B_0)}{P
(A)}=\dfrac{0.8}{\dfrac{448}{475}}=\dfrac{95}{112}$。
(A)}=\dfrac{0.8}{\dfrac{448}{475}}=\dfrac{95}{112}$。
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