第1题
若随机事件 $A,B$ 的 $P(A)=0.7,P(B)=0.2$，$P(A\cup \bar{B})=0.9$，则 $P(A\bar{B})=$____，$P(AB)=$____，$P(A\mid \bar{B})=$____，$P(B\mid \bar{B}\cup A)=$____。
答案
$0.6$；$0.1$；$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{1}{9}$
📖 前置知识梳理
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本题综合考查概率论中的几个核心公式。解题思路：首先利用加法公式由$P(A\cup\bar{B})$求出$P(A\bar{B})$；然后利用减法公式由$P(A\bar{B})$求出$P(AB)$；接着利用条件概率定义求$P(A|\bar{B})$；最后利用事件运算分配律化简$B(\bar{B}\cup
A)=B\bar{B}\cup BA=\emptyset\cup BA=AB$，从而求出$P(B|\bar{B}\cup A)$。易错点：在计算$P(B|\bar{B}\cup A)$时，需要正确运用事件运算分配律$A(B\cup C)=AB\cup AC$，并注意$B\bar{B}=\emptyset$这一关键化简。
A)=B\bar{B}\cup BA=\emptyset\cup BA=AB$，从而求出$P(B|\bar{B}\cup A)$。易错点：在计算$P(B|\bar{B}\cup A)$时，需要正确运用事件运算分配律$A(B\cup C)=AB\cup AC$，并注意$B\bar{B}=\emptyset$这一关键化简。
📋 解题步骤
1
计算 $P(A\bar{B})$
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利用加法公式：$$P(A\cup\bar{B})=P
(A)+P(\bar{B})-P(A\bar{B})$$
已知 $P(A)=0.7$, $P(B)=0.2$，则 $P(\bar{B})=1-0.2=0.8$。
代入 $P(A\cup\bar{B})=0.9$：$$0.9=0.7+0.8-P(A\bar{B})$$
解得：$$\boxed{P(A\bar{B})=0.6}$$
(A)+P(\bar{B})-P(A\bar{B})$$
已知 $P(A)=0.7$, $P(B)=0.2$，则 $P(\bar{B})=1-0.2=0.8$。
代入 $P(A\cup\bar{B})=0.9$：$$0.9=0.7+0.8-P(A\bar{B})$$
解得：$$\boxed{P(A\bar{B})=0.6}$$
2
计算 $P(AB)$
▼
利用事件分解：$$P(A)=P(AB)+P(A\bar{B})$$
已知 $P(A)=0.7$, $P(A\bar{B})=0.6$，代入得：$$0.7=P(AB)+0.6$$
解得：$$\boxed{P(AB)=0.1}$$
已知 $P(A)=0.7$, $P(A\bar{B})=0.6$，代入得：$$0.7=P(AB)+0.6$$
解得：$$\boxed{P(AB)=0.1}$$
3
计算 $P(A\mid\bar{B})$
▼
利用条件概率定义：$$P(A\mid\bar{B})=\frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}$$
已知 $P(A\bar{B})=0.6$, $P(\bar{B})=0.8$，代入得：$$P(A\mid\bar{B})=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}$$
结果：$$\boxed{P(A\mid\bar{B})=\frac{3}{4}}$$
已知 $P(A\bar{B})=0.6$, $P(\bar{B})=0.8$，代入得：$$P(A\mid\bar{B})=\frac{0.6}{0.8}=\frac{3}{4}$$
结果：$$\boxed{P(A\mid\bar{B})=\frac{3}{4}}$$
4
计算 $P(B\mid\bar{B}\cup A)$
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利用条件概率定义：$$P(B\mid\bar{B}\cup
A)=\frac{P(B\cap(\bar{B}\cup A))}{P(\bar{B}\cup A)}$$
**分子**：利用分配律：$$B\cap(\bar{B}\cup A)=(B\cap\bar{B})\cup(B\cap A)=\varnothing\cup(AB)=AB$$
因此 $P(B\cap(\bar{B}\cup A))=P(AB)=0.1$
**分母**：已知 $P(\bar{B}\cup A)=0.9$
代入得：$$P(B\mid\bar{B}\cup A)=\frac{0.1}{0.9}=\frac{1}{9}$$
结果：$$\boxed{P(B\mid\bar{B}\cup A)=\frac{1}{9}}$$
A)=\frac{P(B\cap(\bar{B}\cup A))}{P(\bar{B}\cup A)}$$
**分子**：利用分配律：$$B\cap(\bar{B}\cup A)=(B\cap\bar{B})\cup(B\cap A)=\varnothing\cup(AB)=AB$$
因此 $P(B\cap(\bar{B}\cup A))=P(AB)=0.1$
**分母**：已知 $P(\bar{B}\cup A)=0.9$
代入得：$$P(B\mid\bar{B}\cup A)=\frac{0.1}{0.9}=\frac{1}{9}$$
结果：$$\boxed{P(B\mid\bar{B}\cup A)=\frac{1}{9}}$$
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