第2题 - - 数学强国

第2题

某系统有4个独立工作的元件$A_k$，其可靠性为$p_k, k=1,2,3,4$。系统元件连接方式如下图（$A_1,A_2$并联后与$A_3,A_4$串联），则该系统可靠性为______。

答案

$p_1 p_3 p_4 + p_2 p_3 p_4 - p_1 p_2 p_3 p_4$ （或 $p_3 p_4(p_1+p_2-p_1 p_2)$）

事件的独立性概率加法公式系统可靠性并联与串联系统

📖 前置知识梳理 ▼

本题考查独立事件概率与系统可靠性计算。关键思路：将系统正常工作表示为各元件工作事件的复合事件，再利用事件独立性计算概率。对于并联系统，至少一个元件正常工作则系统通；对于串联系统，所有元件都正常工作系统才通。因此系统正常工作 $A=(A_1\cup A_2)A_3A_4$。注意：计算 $P(A_1\cup A_2)$ 时可用加法公式 $P(A_1)+P(A_2)-P(A_1A_2)$，由于独立 $P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)$。最终结果可因式分解为 $p_3p_4(p_1+p_2-p_1p_2)$，便于记忆。

📋 解题步骤

事件定义

▼

设$A_k$：事件“元件$A_k$正常工作”，$k=1,2,3,4$。$A$：系统正常工作；则$A=(A_1\cup A_2)A_3 A_4$。

利用独立性计算概率

▼

由于$A_1,A_2,A_3,A_4$相互独立，有：
$$P(A)=P((A_1\cup A_2)A_3 A_4)=P(A_1A_3A_4\cup A_2A_3A_4)=P(A_1A_3A_4)+P(A_2A_3A_4)-P(A_1A_2A_3A_4)$$
$$\xlongequal{\text{独立}}P(A_1)P(A_3)P(A_4)+P(A_2)P(A_3)P(A_4)-P(A_1)P(A_2)P(A_3)P(A_4)$$
$$=p_1 p_3 p_4+p_2 p_3 p_4-p_1 p_2 p_3 p_4.$$

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