第20题
设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{e}{(e-1)\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, & 0<x<\theta \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是取自总体$X$的简单随机样本。
(1) 计算$\theta$的矩估计量；
(2) 计算$\theta$的最大似然估计量。
(1) 计算$\theta$的矩估计量；
(2) 计算$\theta$的最大似然估计量。
答案
(1) 矩估计量$\hat{\theta}=\frac{e-1}{e-2}\bar{X}$; (2) 最大似然估计量$\hat{\theta}=\bar{X}$
📖 前置知识梳理
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题型：求未知参数的矩估计和最大似然估计。方法：矩估计、最大似然估计标准作法。$\theta$ 为未知参数。连续型随机变量的最大似然估计步骤与离散型类似：(1)设样本值；(2)写似然函数（利用独立性写成各密度函数的乘积）；(3)取对数；(4)求导令其为0。注意写似然函数时，要将总体密度中的 $x$ 替换为样本值 $x_i$，并注意定义域 $0 < x_i < \theta$ 的限制。
📋 解题步骤
1
矩估计——求总体期望
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$E(X)=\int_0^{\theta}x\cdot\frac{e}{(e-1)\theta}e^{-x/\theta}dx=\frac{e-2}{e-1}\theta$（分部积分）。
2
矩估计——解方程
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令$\bar{X}=E(X)=\frac{e-2}{e-1}\theta$，得矩估计量$\hat{\theta}=\frac{e-1}{e-2}\bar{X}$。
3
最大似然估计——写出似然函数
▼
设$x_1,\cdots,x_n$是样本值，似然函数为
$$L(\theta)=\begin{cases}\left(\frac{e}{e-1}\right)^n\frac{1}{\theta^n}e^{-\frac{\sum x_i}{\theta}}, & 0<x_i<\theta \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$$
$$L(\theta)=\begin{cases}\left(\frac{e}{e-1}\right)^n\frac{1}{\theta^n}e^{-\frac{\sum x_i}{\theta}}, & 0<x_i<\theta \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$$
4
最大似然估计——取对数求导
▼
当$0<x_i<\theta$时，$\ln L(\theta)=n\ln\frac{e}{e-1}-n\ln\theta-\frac{\sum x_i}{\theta}$。对$\theta$求导并令其为0：
$$\frac{d\ln L}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{\sum x_i}{\theta^2}=0$$
$$\frac{d\ln L}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{\sum x_i}{\theta^2}=0$$
5
最大似然估计——解方程
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解得$\hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum x_i=\bar{x}$。故最大似然估计量为$\hat{\theta}=\bar{X}$。
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