第20题 - - 数学强国

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{e}{(e-1)\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}, & 0

答案

(1) 矩估计量$\hat{\theta}=\frac{e-1}{e-2}\bar{X}$; (2) 最大似然估计量$\hat{\theta}=\bar{X}$

矩估计最大似然估计截断指数分布似然函数

📋 解题步骤

矩估计——求总体期望

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$E(X)=\int_0^{\theta}x\cdot\frac{e}{(e-1)\theta}e^{-x/\theta}dx=\frac{e-2}{e-1}\theta$（分部积分）。

矩估计——解方程

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令$\bar{X}=E(X)=\frac{e-2}{e-1}\theta$，得矩估计量$\hat{\theta}=\frac{e-1}{e-2}\bar{X}$。

最大似然估计——写出似然函数

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设$x_1,\cdots,x_n$是样本值，似然函数为 $$L(\theta)=\begin{cases}\left(\frac{e}{e-1}\right)^n\frac{1}{\theta^n}e^{-\frac{\sum x_i}{\theta}}, & 0