第19题
已知$X_1,X_2,\cdots,X_n$为总体$\pi(\lambda)$的样本（$\lambda>0$未知），求$\lambda$的矩估计和最大似然估计。若已知样本平均值为2，求$P\{X=0\}$的估计值。
答案
矩估计量与最大似然估计量均为$\hat{\lambda}=\bar{X}$；当$\bar{x}=2$时，$P\{X=0\}$的估计值为$e^{-2}$
📋 解题步骤
1
总体分布
▼
总体$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率质量函数为
$$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,\cdots$$
2
矩估计
▼
因为$E(X)=\lambda$，令$E(X)=\bar{X}$，得$\lambda$的矩估计量为$\hat{\lambda}=\bar{X}$。
3
最大似然估计——写出似然函数
▼
设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是样本值，似然函数为
$$L(\lambda)=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda^{x_i}e^{-\lambda}}{(x_i)!}=\frac{\lambda^{\sum x_i}e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^n(x_i)!}$$
4
最大似然估计——取对数并求导
▼
对数似然函数为$\ln L(\lambda)=(\sum x_i)\ln\lambda-n\lambda-\ln(\prod x_i!)$。对$\lambda$求导并令其为0：
$$\frac{d\ln L}{d\lambda}=\frac{\sum x_i}{\lambda}-n=0$$
5
最大似然估计——解方程
▼
解得$\hat{\lambda}=\frac{1}{n}\sum x_i=\bar{x}$。故最大似然估计量为$\hat{\lambda}=\bar{X}$，估计值为$\hat{\lambda}=\bar{x}$。
6
求概率估计值
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已知$\bar{x}=2$，则$\hat{\lambda}=2$，从而$X\sim\pi(2)$，故$P\{X=0\}=e^{-2}$。
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