将方程写为 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\ln\dfrac{y}{x}$ 右边可表示为 $\dfrac{y}{x}$ 的函数，因此这是**齐次微分方程**，使用变量替换 $u=\dfrac{y}{x}$。

令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$。 对 $x$ 求导：$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$ 将 $y=ux$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$ 代入原方程：$$u+x\frac{du}{dx}=u\ln u$$

整理得：$$x\frac{du}{dx}=u(\ln u-1)$$ 分离变量：$$\frac{du}{u(\ln u-1)}=\frac{dx}{x}$$ 两边积分：$$\int\frac{du}{u(\ln u-1)}=\int\frac{dx}{x}$$

对左边，令 $v=\ln u-1$，则 $dv=\dfrac{du}{u}$， $$\int\frac{dv}{v}=\ln|v|=\ln|\ln u-1|$$ 对右边：$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\ln|C_1|=\ln|C_1 x|$$ （其中 $\ln|C_1|$ 为积分常数）

由 $\ln|\ln u-1|=\ln|C_1 x|$ 得：$$\ln u-1=Cx$$ （其中 $C=\pm C_1$ 为任意常数） 即：$$\ln\frac{y}{x}=Cx+1$$ 取指数得通解：$$\boxed{y=x\cdot e^{Cx+1}}$$ 其中 $C$ 为任意常数。