考研 期末复习 课程 随机一题
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第1题
求微分方程 $x\dfrac{dy}{dx}=y\ln\dfrac{y}{x}$ 的通解。
答案
$y=x\cdot e^{cx+1}$，$c$为任意常数
齐次微分方程 变量替换 分离变量法 通解
📖 前置知识梳理 ▼
本题综合运用了两种微分方程的解法。

要点1：可分离变量的微分方程，形式为 $g(y)dy = f(x)dx$，解法为两边积分 $\int g(y)dy = \int f(x)dx \Rightarrow G(y) = F(x) + C$。

要点2：齐次方程，形式为 $\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$，解法是令 $\frac{y}{x} = u$，则 $y = x \cdot u$，$\frac{dy}{dx} = u + x \cdot \frac{du}{dx}$，代入后化为可分离变量方程。注意最后不要忘记将 $u = \frac{y}{x}$ 代回。

📋 解题步骤

1
识别方程类型
▼
将方程写为 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\ln\dfrac{y}{x}$

右边可表示为 $\dfrac{y}{x}$ 的函数，因此这是**齐次微分方程**，使用变量替换 $u=\dfrac{y}{x}$。
2
变量替换
▼
令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$。

对 $x$ 求导：$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

将 $y=ux$ 和 $\dfrac{dy}{dx}$ 代入原方程：$$u+x\frac{du}{dx}=u\ln u$$
3
分离变量
▼
整理得：$$x\frac{du}{dx}=u(\ln u-1)$$

分离变量：$$\frac{du}{u(\ln u-1)}=\frac{dx}{x}$$

两边积分：$$\int\frac{du}{u(\ln u-1)}=\int\frac{dx}{x}$$
4
计算积分
▼
对左边，令 $v=\ln u-1$，则 $dv=\dfrac{du}{u}$，
$$\int\frac{dv}{v}=\ln|v|=\ln|\ln u-1|$$

对右边：$$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+\ln|C_1|=\ln|C_1 x|$$

（其中 $\ln|C_1|$ 为积分常数）
5
回代并整理通解
▼
由 $\ln|\ln u-1|=\ln|C_1 x|$ 得：$$\ln u-1=Cx$$
（其中 $C=\pm C_1$ 为任意常数）

即：$$\ln\frac{y}{x}=Cx+1$$

取指数得通解：$$\boxed{y=x\cdot e^{Cx+1}}$$

其中 $C$ 为任意常数。
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