考研 期末复习 课程 随机一题
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第2题
求微分方程 $xy'-y=x^2\sin x$ 的通解。
答案
$y=x(C-\cos x)$，其中$C$为任意常数。
一阶线性微分方程 常数变易法 积分因子法 通解
📖 前置知识梳理 ▼
一阶线性微分方程的标准形式为 $y' + p(x)y = Q(x)$，其通解公式为 $y(x) = e^{-\int p(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int p(x)dx} dx + C \right)$。本题中 $p(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = x \sin x$。注意在计算积分因子时，$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|$，在通解公式中通常省略绝对值。

📋 解题步骤

1
方程标准化
▼
将原方程两边同除以$x$($x\neq0$)，化为一阶线性微分方程标准形
$$y'-\frac{1}{x}y=x\sin x.$$
2
确定积分因子
▼
计算得$e^{\int\frac{1}{x}dx}=e^{\ln x}=x$，而$e^{-\int\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$。
3
代入通解公式并求解
▼
代入得
$$y=x\left(\int x\sin x\cdot\frac{1}{x}dx+C\right)=x\left(\int\sin x\,dx+C\right)=x(C-\cos x).$$
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