第5题
求微分方程 $y''+y=e^x+\cos x$ 的通解。
答案
$y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\dfrac{1}{2}e^x+\dfrac{1}{2}x\sin x$($C_1,C_2$为任意常数)。
📋 解题步骤
1
求齐次方程通解
▼
特征方程为$r^2+1=0$，求其根为$r_{1,2}=\pm i$。故对应的齐次方程通解为
$$Y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x.$$
2
求$e^x$ 对应的特解
▼
对于$y''+y=e^x$，$f_1(x)=e^x$，$\lambda=1$不是特征根。令$y_1^*=Ae^x$，代入方程得
$$Ae^x+Ae^x=e^x,$$
解得$A=\dfrac{1}{2}$。所以
$$y_1^*=\frac{1}{2}e^x.$$
3
求$\cos x$ 对应的特解
▼
对于$y''+y=\cos x$，$\lambda\pm\omega i=\pm i$是特征方程的根。令
$$y_2^*=x(B\cos x+D\sin x),$$
代入方程整理得
$$-2B\sin x+2D\cos x=\cos x,$$
比较系数得$B=0, D=\dfrac{1}{2}$。所以
$$y_2^*=\frac{1}{2}x\sin x.$$
4
写出原方程通解
▼
根据叠加原理，原方程的通解为
$$y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}x\sin x.$$
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