第6题
已知$f(x)$是可导函数，且$f(0)=0$，试确定$f(x)$，使曲线积分$\int_L \left[xe^x+f(x)\right]y\,dx+f(x)\,dy$与路径无关。
答案
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2e^x$
📖 前置知识梳理
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曲线积分与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。本题利用这一条件建立关于 $f(x)$ 的微分方程，然后利用一阶线性微分方程的通解公式求解。一阶线性微分方程 $y' + p(x)y = Q(x)$ 的通解公式为 $y(x) = e^{-\int p(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int p(x)dx} dx + C \right)$。本题中 $p(x) = -1$，$Q(x) = xe^x$。
📋 解题步骤
1
确定被积表达式并求偏导数
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设$P=\left[xe^x+f(x)\right]y$，$Q=f(x)$。计算偏导数得
$$\frac{\partial P}{\partial y}=xe^x+f(x),\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=f'(x).$$
$$\frac{\partial P}{\partial y}=xe^x+f(x),\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=f'(x).$$
2
利用路径无关条件建立微分方程
▼
因曲线积分与路径无关，故$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$，即
$$f'(x)=f(x)+xe^x\implies f'(x)-f(x)=xe^x.$$
结合$f(0)=0$得初值问题。
$$f'(x)=f(x)+xe^x\implies f'(x)-f(x)=xe^x.$$
结合$f(0)=0$得初值问题。
3
求解一阶线性微分方程
▼
由通解公式得
$$f(x)=e^x\left(\int xe^x\cdot e^{-x}dx+C\right)=e^x\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)=\frac{1}{2}x^2e^x+Ce^x.$$
$$f(x)=e^x\left(\int xe^x\cdot e^{-x}dx+C\right)=e^x\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)=\frac{1}{2}x^2e^x+Ce^x.$$
4
代入初始条件确定常数
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将$f(0)=0$代入得$C=0$，故
$$f(x)=\frac{1}{2}x^2e^x.$$
$$f(x)=\frac{1}{2}x^2e^x.$$
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