第7题
设$f(x)$连续，$f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t)f(t)dt$，求$f(x)$。
答案
$f(x)=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{1}{2}x\cos x=\dfrac{1}{2}(\sin x+x\cos x)$
📖 前置知识梳理
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积分方程转化为微分方程的关键方法是利用变上限积分求导公式：$\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)$。对积分方程求导时，注意 $x\int_0^x f(t)dt$ 需要使用乘积求导法则。每次求导后，令 $x = 0$ 可以得到初值条件，从而将积分方程转化为带初值条件的微分方程。本题最终转化为二阶常系数非齐次线性微分方程的初值问题。注意：当非齐次项中的三角函数对应的 $\lambda \pm \omega i$ 是特征根时，特解要乘以 $x$。
📋 解题步骤
1
展开积分并确定初值
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展开得
$$f(x)=\sin x-x\int_0^x f(t)dt+\int_0^x tf(t)dt,$$
令$x=0$得$f(0)=0$。
$$f(x)=\sin x-x\int_0^x f(t)dt+\int_0^x tf(t)dt,$$
令$x=0$得$f(0)=0$。
2
一阶求导
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对$x$求导得
$$f'(x)=\cos x-\int_0^x f(t)dt,$$
令$x=0$得$f'(0)=1$。
$$f'(x)=\cos x-\int_0^x f(t)dt,$$
令$x=0$得$f'(0)=1$。
3
二阶求导得微分方程
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再求导得
$$f''(x)=-\sin x-f(x),$$
即$f''(x)+f(x)=-\sin x$。
$$f''(x)=-\sin x-f(x),$$
即$f''(x)+f(x)=-\sin x$。
4
求齐次通解
▼
特征方程$r^2+1=0$，根为$r_{1,2}=\pm i$。齐次通解为
$$Y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x.$$
$$Y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x.$$
5
求特解
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对$g(x)=-\sin x$，$\lambda\pm\omega i=\pm i$是特征根。令$y^*=x(A\cos x+B\sin x)$，代入整理得
$$-2A\sin x+2B\cos x=-\sin x,$$
比较系数得$A=\dfrac{1}{2}, B=0$。故
$$y^*=\frac{1}{2}x\cos x.$$
$$-2A\sin x+2B\cos x=-\sin x,$$
比较系数得$A=\dfrac{1}{2}, B=0$。故
$$y^*=\frac{1}{2}x\cos x.$$
6
写出通解并利用初值确定常数
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通解为
$$f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}x\cos x.$$
求导后代入$f(0)=0, f'(0)=1$，得$C_1=0, C_2=\dfrac{1}{2}$。
$$f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}x\cos x.$$
求导后代入$f(0)=0, f'(0)=1$，得$C_1=0, C_2=\dfrac{1}{2}$。
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