第9题
求过点$(0,2,4)$且与两平面$x+2z=1$和$y-3z=2$平行的直线方程。
答案
$\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-4}{1}$
📖 前置知识梳理
▼
要点1（红色标注）：若直线 $L$ 与两平面 $\pi_1, \pi_2$ 皆平行，则 $L$ 与 $\pi_1, \pi_2$ 的交线平行。
要点2：两平面交线的方向向量可通过两平面法向量的叉乘求得。
要点3：直线的点向式（对称式）方程——已知直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，并以 $\vec{s}=(m,n,p)$ 为方向向量，则直线方程为 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$。
要点2：两平面交线的方向向量可通过两平面法向量的叉乘求得。
要点3：直线的点向式（对称式）方程——已知直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，并以 $\vec{s}=(m,n,p)$ 为方向向量，则直线方程为 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$。
📋 解题步骤
1
确定两平面的法向量
▼
平面$x+2z=1$的法向量为$\vec{n}_1=(1,0,2)$，平面$y-3z=2$的法向量为$\vec{n}_2=(0,1,-3)$。
2
求方向向量
▼
所求直线与两平面均平行，方向向量垂直于两法向量，故
$$\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&2\\0&1&-3\end{vmatrix}=(-2,3,1).$$
$$\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&2\\0&1&-3\end{vmatrix}=(-2,3,1).$$
3
写出直线方程
▼
直线过点$M_0(0,2,4)$，方向向量$\vec{s}=(-2,3,1)$。由点向式方程得
$$\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}.$$
$$\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}.$$
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...