第9题
求过点$(0,2,4)$且与两平面$x+2z=1$和$y-3z=2$平行的直线方程。
答案
$\dfrac{x}{-2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-4}{1}$
📋 解题步骤
1
确定两平面的法向量
▼
平面$x+2z=1$的法向量为$\vec{n}_1=(1,0,2)$，平面$y-3z=2$的法向量为$\vec{n}_2=(0,1,-3)$。
2
求方向向量
▼
所求直线与两平面均平行，方向向量垂直于两法向量，故
$$\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&2\\0&1&-3\end{vmatrix}=(-2,3,1).$$
3
写出直线方程
▼
直线过点$M_0(0,2,4)$，方向向量$\vec{s}=(-2,3,1)$。由点向式方程得
$$\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}.$$
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