第1题
计算$n$阶行列式
$$D=\begin{vmatrix}1+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\a_2a_1&1+a_2^2&\cdots&a_2a_n\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_na_1&a_na_2&\cdots&1+a_n^2\end{vmatrix},$$
其中$a_i\neq0,\ i=1,2,\cdots,n$。
$$D=\begin{vmatrix}1+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\a_2a_1&1+a_2^2&\cdots&a_2a_n\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_na_1&a_na_2&\cdots&1+a_n^2\end{vmatrix},$$
其中$a_i\neq0,\ i=1,2,\cdots,n$。
答案
$D=1+\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2$
📖 前置知识梳理
▼
本题考查箭形（爪形）行列式的计算方法。关键思路是：先通过提取每行公因子将行列式化为标准形式，再通过行变换将第一列下方元素化为相同形式，然后通过列变换将第一行右侧元素消为零，最终化为对角行列式直接计算。注意：行变换和列变换的结合使用是处理这类行列式的核心技巧，提取公因子可以大大简化后续计算。
📋 解题步骤
1
提取公因子
▼
第$i$行提取$a_i$，第$i$列提取$a_i$，得
$$D=a_1^2a_2^2\cdots a_n^2\begin{vmatrix}1+\dfrac{1}{a_1^2}&1&\cdots&1\\1&1+\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&1\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\cdots&1+\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
$$D=a_1^2a_2^2\cdots a_n^2\begin{vmatrix}1+\dfrac{1}{a_1^2}&1&\cdots&1\\1&1+\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&1\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&\cdots&1+\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
2
行变换
▼
将第1行的$(-1)$倍分别加到第2,第3,...,第$n$行：
$$\begin{vmatrix}1+\dfrac{1}{a_1^2}&1&\cdots&1\\-\dfrac{1}{a_1^2}&\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&0\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-\dfrac{1}{a_1^2}&0&\cdots&\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
$$\begin{vmatrix}1+\dfrac{1}{a_1^2}&1&\cdots&1\\-\dfrac{1}{a_1^2}&\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&0\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-\dfrac{1}{a_1^2}&0&\cdots&\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
3
列变换化为上（下）三角
▼
将第2,第3,...,第$n$列的$a_j^2/a_1^2$倍加到第1列，得
$$\begin{vmatrix}1+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2}&1&\cdots&1\\0&\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&0\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
$$\begin{vmatrix}1+\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{a_i^2}&1&\cdots&1\\0&\dfrac{1}{a_2^2}&\cdots&0\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\dfrac{1}{a_n^2}\end{vmatrix}.$$
4
计算结果
▼
行列式等于对角元之积乘以$(1+\sum a_i^{-2})$，再乘回提取的公因子，化简得
$$D=1+\sum_{i=1}^n a_i^2.$$
$$D=1+\sum_{i=1}^n a_i^2.$$
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