行列式各行元素之和相同，都是 $a_1+a_2+a_3+a_4+x$ 的形式。 这是典型的“各行（列）元素和相同”行列式，可用**加到第一列**的方法简化。

将第2、3、4列全部加到第1列，第1列每个元素变为：$$a_1+a_2+a_3+a_4+x=\sum_{i=1}^4 a_i+x$$ 记 $S=\displaystyle\sum_{i=1}^4 a_i+x$，提取第1列公因子 $S$：$$D=S\begin{vmatrix}1&a_2&a_3&a_4+x\\1&a_2&a_3+x&a_4\\1&a_2+x&a_3&a_4\\1&a_2&a_3&a_4\end{vmatrix}$$

将第4行的 $(-1)$ 倍分别加到第1、2、3行（即 $R_i-R_4, i=1,2,3$）： $R_1-R_4$: $(0,\;0,\;0,\;x)$ $R_2-R_4$: $(0,\;0,\;x,\;0)$ $R_3-R_4$: $(0,\;x,\;0,\;0)$ $R_4$: $(1,\;a_2,\;a_3,\;a_4)$

现在第1列只有第4行为1，其余均为0。按第1列展开： $$D=S\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}0&0&x\\0&x&0\\x&0&0\end{vmatrix}$$ （只留下第4行第1列元素 $1$ 的余子式，代数余子式符号为 $(-1)^{4+1}=-1$）

对于3阶行列式，按第1行展开： $$\begin{vmatrix}0&0&x\\0&x&0\\x&0&0\end{vmatrix}=x\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0&x\\x&0\end{vmatrix}=x\cdot(0-x^2)=-x^3$$ 代回得：$$D=S\cdot(-1)\cdot(-x^3)=Sx^3$$

将 $S=\displaystyle\sum_{i=1}^4 a_i+x$ 代入，得： $$\boxed{D=x^3\left(\sum_{i=1}^4 a_i+x\right)}$$