考研 期末复习 课程 随机一题
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第1题
计算行列式
$$D=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4+x\\a_1&a_2&a_3+x&a_4\\a_1&a_2+x&a_3&a_4\\a_1+x&a_2&a_3&a_4\end{vmatrix}.$$
答案
$x^3\left(\displaystyle\sum_{i=1}^4 a_i+x\right)$
行列式计算 行列式的性质
📖 前置知识梳理 ▼
本题核心思路是利用行列式的性质：各行（列）之和相等时，可将所有列加到第一列提取公因子。关键知识点包括：(1) 行列式某行（列）公因子可提取到行列式符号外；(2) 行列式两行（列）相同则行列式为零；(3) 上三角行列式等于主对角线元素之积；(4) 反上三角行列式公式为 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 乘以对角线元素之积。注意区分 $kD$（数乘行列式）与 $k$ 乘某行元素的区别。

📋 解题步骤

1
观察行列式结构
▼
行列式各行元素之和相同，都是 $a_1+a_2+a_3+a_4+x$ 的形式。

这是典型的“各行（列）元素和相同”行列式，可用**加到第一列**的方法简化。
2
各列加到第一列
▼
将第2、3、4列全部加到第1列，第1列每个元素变为：$$a_1+a_2+a_3+a_4+x=\sum_{i=1}^4 a_i+x$$

记 $S=\displaystyle\sum_{i=1}^4 a_i+x$，提取第1列公因子 $S$：$$D=S\begin{vmatrix}1&a_2&a_3&a_4+x\\1&a_2&a_3+x&a_4\\1&a_2+x&a_3&a_4\\1&a_2&a_3&a_4\end{vmatrix}$$
3
行变换化为上三角
▼
将第4行的 $(-1)$ 倍分别加到第1、2、3行（即 $R_i-R_4, i=1,2,3$）：

$R_1-R_4$: $(0,\;0,\;0,\;x)$
$R_2-R_4$: $(0,\;0,\;x,\;0)$
$R_3-R_4$: $(0,\;x,\;0,\;0)$
$R_4$: $(1,\;a_2,\;a_3,\;a_4)$
4
按第一列展开
▼
现在第1列只有第4行为1，其余均为0。按第1列展开：

$$D=S\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}0&0&x\\0&x&0\\x&0&0\end{vmatrix}$$

（只留下第4行第1列元素 $1$ 的余子式，代数余子式符号为 $(-1)^{4+1}=-1$）
5
计算3阶行列式
▼
对于3阶行列式，按第1行展开：
$$\begin{vmatrix}0&0&x\\0&x&0\\x&0&0\end{vmatrix}=x\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0&x\\x&0\end{vmatrix}=x\cdot(0-x^2)=-x^3$$

代回得：$$D=S\cdot(-1)\cdot(-x^3)=Sx^3$$
6
得出结果
▼
将 $S=\displaystyle\sum_{i=1}^4 a_i+x$ 代入，得：

$$\boxed{D=x^3\left(\sum_{i=1}^4 a_i+x\right)}$$
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