考研 期末复习 课程 随机一题
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第2题
计算行列式
$$D=\begin{vmatrix}1+a_1&1&1&1\\1&1+a_2&1&1\\1&1&1+a_3&1\\1&1&1&1+a_4\end{vmatrix},\quad(a_1a_2a_3a_4\neq0).$$
答案
$a_1a_2a_3a_4\left(1+\displaystyle\sum_{i=1}^4\dfrac{1}{a_i}\right)$
行列式计算 行列式的性质 抓住行(列)和相等特征
📖 前置知识梳理 ▼
爪形行列式的特点是第一行和第一列非零（或对角线非零），其余位置为零。解题策略是通过行列变换将其化为上三角或下三角行列式。对于题2这种'对角加常数'型行列式，先通过行变换化为爪形，再通过列变换消元。关键注意点：进行行/列变换时要记住变换对行列式值的影响（交换两行变号，某行乘k则行列式乘k）。

📋 解题步骤

1
行变换
▼
将第1行的$(-1)$倍分别加到第2、第3、第4行，即$r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1$：
$$D=\begin{vmatrix}1+a_1&1&1&1\\-a_1&a_2&0&0\\-a_1&0&a_3&0\\-a_1&0&0&a_4\end{vmatrix}.$$
2
列变换
▼
将第2、第3、第4列的适当倍数分别加到第1列，使第1列中的后三个元素变为0：
$$c_1+\frac{a_1}{a_2}c_2,\quad c_1+\frac{a_1}{a_3}c_3,\quad c_1+\frac{a_1}{a_4}c_4.$$
第1列第1行元素变为
$$1+a_1+\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_1}{a_4}=a_1\left(1+\sum_{i=1}^4\frac{1}{a_i}\right).$$
3
化为上三角行列式并求值
▼
变换后得上（下）三角行列式，其值为主对角线元素之积：
$$D=a_1a_2a_3a_4\left(1+\sum_{i=1}^4\frac{1}{a_i}\right).$$
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