第20题
若二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_2x_3+4x_1^2+5x_2^2+5x_3^2$。(1)将$f$写为$X^TAX$的形式；(2)求一个正交变换，将二次型化为标准形；(3)在直角坐标系中，$f(x_1,x_2,x_3)=2$表示的曲面。
答案
(1) $A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{pmatrix}$; (2) 正交变换$X=PY$，标准形$f=4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2$；(3) 椭球面。
📖 前置知识梳理
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利用正交变换化二次型为标准形的一般步骤：① 写出二次型的矩阵形式 $f(x_1, x_2, x_3) = x^T A x$；② $|A - \lambda E| = 0$ 得特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$；③ $(A - \lambda_i
E)x = 0$ 得对应特征向量 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$；④ 对 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$（若有重根）进行正交化得 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$；⑤ 对 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 进行单位化得 $p_1, p_2, p_3$；⑥ 令 $P = (p_1, p_2, p_3)$，取 $x = PY$，则标准形为 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$。二次型表示的曲面分类：三正为椭球面；两正一负为单叶双曲面；两负一正为双叶双曲面；两正一零为椭圆柱面；一正一负一零为双曲柱面。
E)x = 0$ 得对应特征向量 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$；④ 对 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$（若有重根）进行正交化得 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$；⑤ 对 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 进行单位化得 $p_1, p_2, p_3$；⑥ 令 $P = (p_1, p_2, p_3)$，取 $x = PY$，则标准形为 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$。二次型表示的曲面分类：三正为椭球面；两正一负为单叶双曲面；两负一正为双叶双曲面；两正一零为椭圆柱面；一正一负一零为双曲柱面。
📋 解题步骤
1
二次型的矩阵表示
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二次型$f=4x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_2x_3$的矩阵为
$$A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{pmatrix},$$
则$f=X^TAX$，其中$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$。
$$A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{pmatrix},$$
则$f=X^TAX$，其中$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$。
2
求特征值
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$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}4-\lambda&0&0\\0&5-\lambda&1\\0&1&5-\lambda\end{vmatrix}=(4-\lambda)[(5-\lambda)^2-1]=(4-\lambda)(\lambda-4)(\lambda-6)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=4,\lambda_3=6$。
得$\lambda_1=\lambda_2=4,\lambda_3=6$。
3
求特征向量并正交单位化
▼
对$\lambda_1=\lambda_2=4$，解$(A-4E)X=0$得
$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\xi_2=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$（已正交）。
对$\lambda_3=6$，解$(A-6E)X=0$得$\xi_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$
$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\xi_2=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$（已正交）。
对$\lambda_3=6$，解$(A-6E)X=0$得$\xi_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$
4
正交变换与标准形
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令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，则正交变换将二次型化为标准形
$$f=4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2.$$
$$f=4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2.$$
5
判断曲面类型
▼
$f=2$即$4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2=2$，化简得
$$2y_1^2+2y_2^2+3y_3^2=1.$$
该方程表示椭球面。
$$2y_1^2+2y_2^2+3y_3^2=1.$$
该方程表示椭球面。
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