第20题
若二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_2x_3+4x_1^2+5x_2^2+5x_3^2$。(1)将$f$写为$X^TAX$的形式；(2)求一个正交变换，将二次型化为标准形；(3)在直角坐标系中，$f(x_1,x_2,x_3)=2$表示的曲面。
答案
(1) $A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{pmatrix}$; (2) 正交变换$X=PY$，标准形$f=4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2$；(3) 椭球面。
📋 解题步骤
1
二次型的矩阵表示
▼
二次型$f=4x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_2x_3$的矩阵为
$$A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{pmatrix},$$
则$f=X^TAX$，其中$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$。
2
求特征值
▼
$$|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}4-\lambda&0&0\\0&5-\lambda&1\\0&1&5-\lambda\end{vmatrix}=(4-\lambda)[(5-\lambda)^2-1]=(4-\lambda)(\lambda-4)(\lambda-6)=0,$$
得$\lambda_1=\lambda_2=4,\lambda_3=6$。
3
求特征向量并正交单位化
▼
对$\lambda_1=\lambda_2=4$，解$(A-4E)X=0$得
$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\xi_2=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$（已正交）。
对$\lambda_3=6$，解$(A-6E)X=0$得$\xi_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$。
单位化：
$$p_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\ p_2=\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\ p_3=\begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$
4
正交变换与标准形
▼
令$P=(p_1,p_2,p_3)$，取$X=PY$，则正交变换将二次型化为标准形
$$f=4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2.$$
5
判断曲面类型
▼
$f=2$即$4y_1^2+4y_2^2+6y_3^2=2$，化简得
$$2y_1^2+2y_2^2+3y_3^2=1.$$
该方程表示椭球面。
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）