第19题
设矩阵$A=\begin{pmatrix}0&2&-3\\-1&a&-3\\1&-2&4\end{pmatrix}$与$B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&5&b\\0&3&1\end{pmatrix}$相似，则$a=$______，$b=$______。
答案
$a=3,\ b=0$
📖 前置知识梳理
▼
相似矩阵的定义：对矩阵 $A_n, B_n$，若存在可逆阵 $P$，使 $P^{-1}AP = B$，称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。相似的必要条件（若 $A$ 与 $B$ 相似，则）：特征多项式相同；特征值相同；行列式相同；迹相同（对角线上元素和相同）；秩相同。注意：这些条件是必要的但不是充分的。求相似矩阵中的参数时，通常先利用迹相同求一个参数，再利用行列式相同求另一个参数。
📋 解题步骤
1
利用相似矩阵的迹相等求$a$
▼
因为$A$与$B$相似，所以它们的迹（对角线元素之和）相等：
$$\operatorname{tr}
(A)=0+a+4=a+4,\quad \operatorname{tr}(B)=1+5+1=7.$$
由$a+4=7$，解得$a=3$。
$$\operatorname{tr}
(A)=0+a+4=a+4,\quad \operatorname{tr}(B)=1+5+1=7.$$
由$a+4=7$，解得$a=3$。
2
计算$|A|$
▼
将$a=3$代入$A$，得
$$|A|=\begin{vmatrix}0&2&-3\\-1&3&-3\\1&-2&4\end{vmatrix}.$$
对行列式作行变换$r_2+r_3$：
$$|A|=\begin{vmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\1&-2&4\end{vmatrix}.$$
按第一列展开，得
$$|A|=1\cdot\begin{vmatrix}2&-3\\1&1\end{vmatrix}=2\times1-(-3)\times1=5.$$
$$|A|=\begin{vmatrix}0&2&-3\\-1&3&-3\\1&-2&4\end{vmatrix}.$$
对行列式作行变换$r_2+r_3$：
$$|A|=\begin{vmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\1&-2&4\end{vmatrix}.$$
按第一列展开，得
$$|A|=1\cdot\begin{vmatrix}2&-3\\1&1\end{vmatrix}=2\times1-(-3)\times1=5.$$
3
计算$|B|$ 并求$b$
▼
计算$B$的行列式，按第一列展开：
$$|B|=\begin{vmatrix}1&-2&0\\0&5&b\\0&3&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&b\\3&1\end{vmatrix}=5-3b.$$
因为相似矩阵的行列式相等，即$|A|=|B|$，所以
$$5=5-3b\implies b=0.$$
$$|B|=\begin{vmatrix}1&-2&0\\0&5&b\\0&3&1\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&b\\3&1\end{vmatrix}=5-3b.$$
因为相似矩阵的行列式相等，即$|A|=|B|$，所以
$$5=5-3b\implies b=0.$$
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