题型1：与行列式定义有关的计算
n阶行列式的定义
$$D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum (-1)^{t(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1p_1} a_{2p_2} \cdots a_{np_n}$$
$n$阶行列式是 $n!$ 项的代数和，每项取自不同行不同列。$t(p_1\cdots p_n)$ 为排列的逆序数。
例1：求行列式中 $x^3$ 的系数
设 $f(x) = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 2 \\ 1 & x & 1 & -1 \\ 3 & 2 & x & 1 \\ 1 & 1 & 2x & 1 \end{vmatrix}$，求 $f(x)$ 中 $x^3$ 的系数。
含 $x^3$ 的项需取三个 $x$ 和一个常数。主对角线：$(-1)^{t(1234)}x\cdot x\cdot x\cdot1=x^3$。取 $a_{11}=x,a_{22}=x,a_{34}=1,a_{43}=2x$：$(-1)^{t(1243)}x\cdot x\cdot1\cdot2x=-2x^3$。故 $x^3$ 系数为 $1+(-2)=-1$。
题型2：与行列式性质有关的计算和证明
知识点1：行列式的七条性质
① $D = D^T$（行列式与转置行列式相等）
② 互换两行（列），行列式变号
③ 行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面
④ 若行列式有两行（列）元素成比例，则行列式为零
⑤ 若某一行（列）的元素都是两数之和，则可拆为两个行列式之和：$\begin{vmatrix}\cdots & a_{i1}+b_{i1} & \cdots\\ \cdots & a_{i2}+b_{i2} & \cdots\\ & \vdots & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\cdots & a_{i1} & \cdots\\ \cdots & a_{i2} & \cdots\\ & \vdots & \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\cdots & b_{i1} & \cdots\\ \cdots & b_{i2} & \cdots\\ & \vdots & \end{vmatrix}$
⑥ 把某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变：$D\xrightarrow{r_i+kr_j}D$
⑦ 展开定理及推论：$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn} = \begin{cases} D, & i=j\\ 0, & i\neq j \end{cases}$
知识点2：一些特殊行列式的值
① 上（下）三角行列式 = 主对角线元素之积
② 副对角线行列式：$\begin{vmatrix} & & a_{1n}\\ & a_{2,n-1} & \\ & \cdots & \\ a_{n1} & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$
③ 分块三角行列式：$\begin{vmatrix} A & C\\ 0 & B \end{vmatrix}=|A||B|$
④ 范德蒙德行列式：$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$
例2：各行（列）元素之和相等
计算 $D_n = \begin{vmatrix} a_1-b & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2-b & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n-b \end{vmatrix}$
将第2至n列加到第1列，第1列各元素变为 $\sum a_i-b$。提出公因子后，将第1列的适当倍数加到其余各列：$c_j-c_1$（$j=2,\ldots,n$），得 $D_n=(\sum a_i-b)\cdot(-b)^{n-1}$。
例3：递推行列式（按列展开）
计算 $D_n = \begin{vmatrix} x & -1 & & & \\ & x & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & x & -1 \\ a_n & a_{n-1} & \cdots & a_2 & x+a_1 \end{vmatrix}$
按第一列展开：$D_n = x\cdot A_{11} + a_n\cdot A_{n1} = x\cdot D_{n-1} + a_n\cdot(-1)^{n+1}\cdot(-1)^{n-1} = xD_{n-1} + a_n$。递推得 $D_n = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \cdots + a_n$。
例4：箭形行列式
计算 $D_{n+1} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & a_0 \\ 0 & 0 & \cdots & a_1 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{n-1} & \cdots & 0 & 0 \\ a_n & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix}$
箭形行列式除第一行、第一列及副对角线外全为零。利用副对角线元素消去箭杆上的非零元，化为三角行列式求解。
例5：范德蒙德行列式应用
计算 $D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2^2 & \cdots & 2^n \\ 3 & 3^2 & \cdots & 3^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n^2 & \cdots & n^n \end{vmatrix}$
从每行提出公因子：$D_n=n!\cdot\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\2&2^1&\cdots&2^{n-1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\n&n^1&\cdots&n^{n-1}\end{vmatrix}$，此即范德蒙德行列式，$D_n=n!\cdot\prod_{1\leq i<j\leq n}(j-i)$。
题型3：与代数余子式有关的计算
余子式 $M_{ij}$：划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的 $n-1$ 阶行列式；代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
按行展开：$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$。推论：一行元素乘另一行代数余子式之和为零。
例6：代数余子式的灵活应用
$D_4=\begin{vmatrix}4&1&2&4\\1&2&0&2\\0&1&1&7\\10&5&2&3\end{vmatrix}$。求：(1)$A_{31}+2A_{32}+3A_{33}+4A_{34}$；(2)第4行代数余子式之和；(3)第4行余子式之和。
(1)将第3行换为1,2,3,4，新行列式 $D_4'$ 按第3行展开即得。(2)将第4行换为1,1,1,1，新行列式值为 $A_{41}+\cdots+A_{44}=-36$。(3)$M_{4j}=(-1)^{4+j}A_{4j}$，故和 $=-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}$。
📝 知识点总结
第一章复习行列式的三大题型：题型1（定义）—$n!$项代数和与$x^n$系数求法；题型2（性质）—七条性质（转置、互换、提公因子、成比例为零、拆分、倍加不变、展开定理）+四种特殊行列式（三角、副对角线、分块三角、范德蒙德）+例2~例5；题型3（代数余子式）—展开定理与灵活替换法。