第二章 矩阵及其运算
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题型1：求逆矩阵
四种求逆方法
(1)伴随矩阵法：$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$（$n\leq3$适用），2阶特例：$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$
(2)初等变换法：$(A\mid
E)\sim(E\mid A^{-1})$
(3)分块对角阵：$\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_s)^{-1}=\operatorname{diag}(A_1^{-1},\ldots,A_s^{-1})$
(4)利用定义：若 $AB=E$ 则 $A^{-1}=B$
(2)初等变换法：$(A\mid
E)\sim(E\mid A^{-1})$
(3)分块对角阵：$\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_s)^{-1}=\operatorname{diag}(A_1^{-1},\ldots,A_s^{-1})$
(4)利用定义：若 $AB=E$ 则 $A^{-1}=B$
例1：分块对角求逆
$A=\begin{pmatrix}3&0&0\\1&4&0\\0&0&3\end{pmatrix}$，求 $(A-2E)^{-1}$。
$A-2E=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。令 $A_1=\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}$，$A_2=(1)$。$A_1^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1/2&1/2\end{pmatrix}$，$(A-2E)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
例2：副对角线矩阵求逆
$A=\begin{pmatrix}& &a_1\\ &a_2& \\ a_n& &\end{pmatrix}$（$a_i\neq0$），求 $A^{-1}$。
副对角线矩阵的逆矩阵仍为副对角线矩阵，各元素取倒数：$A^{-1}=\begin{pmatrix}& &1/a_n\\ &\cdots& \\1/a_1& &\end{pmatrix}$。
例3：利用矩阵方程求逆
已知 $A^3-2A^2+3A-4E=0$，证明 $A-E$ 可逆，并求 $(A-E)^{-1}$。
$(A-E)(A^2-A+2E)=A^3-A^2-A^2+A+2A-2E=A^3-2A^2+3A-2E=(A^3-2A^2+3A-4E)+2E=2E$。故 $(A-E)\cdot\frac{1}{2}(A^2-A+2E)=E$，$(A-E)^{-1}=\frac{1}{2}(A^2-A+2E)$。
题型2：求解矩阵方程
步骤：①移项 ②合并（$AX\pm BX=(A\pm
B)X$，但 $AX\pm XB$不能合并） ③若系数矩阵可逆则 $X=A^{-1}B$
题型3：求方阵的幂
方法：分解法 $A=E+N$（$N^k=0$时二项式展开）；对角化法 $A=P\Lambda P^{-1}\Rightarrow A^n=P\Lambda^n P^{-1}$；数学归纳法
例6：分解法求 $A^n$
$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，求 $A^n$。
$A=E+N$，$N=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$N^2=0$。$A^n=(E+N)^n=E+nN=\begin{pmatrix}1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
例4：求解矩阵方程 $AX=B$
$A=\begin{pmatrix}3&1&2\\2&4&-1\\1&2&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&3&-1\\1&2&2\end{pmatrix}$，且 $AX=B$，求 $X$。
$X=A^{-1}B$。先求 $A^{-1}$（伴随矩阵法或初等变换法），再右乘 $B$ 即得 $X$。注意 $AX=B$ 时 $X=A^{-1}B$；若 $XA=B$ 则 $X=BA^{-1}$。
例5：$A=\alpha\beta^T$ 型矩阵的幂
已知 $\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})^T$，$A=\alpha\beta^T$，求 $A^n$。
$\beta^T\alpha = 1\cdot1+2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{3}=1+1+1=3$。$A^n=(\alpha\beta^T)^n=\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T=3^{n-1}\alpha\beta^T=3^{n-1}A$。一般地，若 $A=\alpha\beta^T$ 且 $\beta^T\alpha=m$，则 $A^n=m^{n-1}A$。
例7：行列式的线性性质
若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$ 都是4维列向量，且 $|\alpha_1\;\alpha_2\;\alpha_3\;\beta_1|=m$，$|\alpha_1\;\alpha_2\;\alpha_3\;\beta_2|=n$，求 $|\alpha_3\;\alpha_2\;\alpha_1\;(\beta_1+\beta_2)|$。
$|\alpha_3\;\alpha_2\;\alpha_1\;(\beta_1+\beta_2)| = |\alpha_3\;\alpha_2\;\alpha_1\;\beta_1| + |\alpha_3\;\alpha_2\;\alpha_1\;\beta_2|$。列交换 $\alpha_3\leftrightarrow\alpha_1$（一次变号）：第一项 $=-m$；再 $\alpha_2\leftrightarrow\alpha_1$ 已在正确位置？验证：$\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1$ 需要两次列交换回到 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，不变号。故 $=m+n$。
题型4：与方阵的行列式相关的计算
题型5：与伴随矩阵相关的计算
核心公式：$AA^*=A^*A=|A|\cdot E$
若 $A$ 可逆：$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$，$A^*=|A|A^{-1}$，$|A^*|=|A|^{n-1}$（$n\geq2$）
例8：伴随矩阵计算
设 $|A_3|=3$，$|B|=2$。求：(1)$|AB|+|A^*|+|2B^{-1}|$；(2)$|(\frac{1}{9}A)^{-1}-4A^*|$。
(1)$|AB|=6$；$|A^*|=|A|^2=9$；$|2B^{-1}|=2^3|B|^{-1}=4$，和为19。(2)$(\frac{1}{9}A)^{-1}=9A^{-1}$，$A^*=3A^{-1}$，$9A^{-1}-12A^{-1}=-3A^{-1}$，行列式$=(-3)^3/3=-9$。
题型6：与可逆充要条件相关的证明
$A$可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\neq0$ $\Leftrightarrow$ $R
(A)=n$ $\Leftrightarrow$ 列(行)向量组线性无关
例9：可逆性证明
若 $AA^T=E$ 且 $|A|\neq1$，证明 $A+E$ 不可逆。
$|A+E|=|A+AA^T|=|A(E+A^T)|=|A|\cdot|(E+A)^T|=|A|\cdot|E+A|$。得 $(1-|A|)|A+E|=0$。$|A|\neq1$，故 $|A+E|=0$，$A+E$ 不可逆。
📝 知识点总结
第二章复习矩阵运算的六大题型：求逆矩阵（伴随矩阵法、初等变换法、分块对角法）、求解矩阵方程、求方阵的幂（$A=E+N$分解法）、方阵行列式计算、伴随矩阵公式（$AA^*=|A|E$）、可逆充要条件证明。