(本题满分 12 分) 设 $n$ 元线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ，其中 $$ \boldsymbol {A} = \left( \begin{array}{c c c c c} 2 a & 1 & & & \\ a ^ {2} & 2 a & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a ^ {2} & 2 a & 1 \\ & & & a ^ {2} & 2 a \end{array} \right), \quad \boldsymbol {x} = \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ \vdots \\ x _ {n} \end{array} \right), \quad \boldsymbol {b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right). $$ (I) 证明行列式 $|\mathbf{A}| = (n + 1)a^{n}$ ; （Ⅱ）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_{1}$ （Ⅲ）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解